Thí dụ 1.
a. Giải phương trình 4x - y = 1.
b. Tìm nghiệm nguyên của phương trình x - 2y = 3.
c. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2x + y = 4.
suy ra, các cặp số (0; -1), (1; 3), …là nghiệm của phương trình.
Vậy, phương trình có vô số nghiệm, với dạng tổng quát (x; 4x - 1).
b. Biến đổi phương trình về dạng: x = 2y + 3.
Để nghiệm của phương trình là nghiệm nguyên thì y phải nguyên.
Vậy, phương trình có vô số nghiệm nguyên thoả mãn (2a + 3, a) với a ∈ $\mathbb{Z}$.
c. Biến đổi phương trình về dạng: y = 4 – 2x.
Để x, y nguyên dương điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l}x \in {\mathbb{N}^*}\\4 - 2x \in {\mathbb{N}^*}\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}x \in {\mathbb{N}^*}\\x < 2\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.$.
Vậy, phương trình có duy nhất một cặp nghiệm nguyên dương là (1; 2).
Thí dụ 2. Giải và biện luận phương trình: mx + (m-1)y = m$^2$-1. (1)
Trường hợp 1: Nếu m = 0 thì: (1) <=> 0.x – y = –1 <=> y = 1.
Vậy, tập hợp nghiệm của phương trình là S = {(x$_0$, 1), x$_0$ ∈ $\mathbb{R}$}.
Trường hợp 2: Nếu và m = 1 thì: (1) <=> x + 0.y = 0 <=> x = 0
Vậy, tập hợp nghiệm của phương trình là S = {(0; y$_0$), y$_0$ ∈ $\mathbb{R}$}.
Trường hợp 3: Nếu m ≠ 0 và m ≠ 1. Khi đó lấy x = x$_0$ tuỳ ý, ta được y$_0$ = $\frac{{{m^2} - 1 - m{x_0}}}{{m - 1}}$.
Vậy, tập hợp nghiệm của phương trình là S = {(x$_0$ ; $\frac{{{m^2} - 1 - m{x_0}}}{{m - 1}}$), x$_0$ ∈ $\mathbb{R}$}.
a. Giải phương trình 4x - y = 1.
b. Tìm nghiệm nguyên của phương trình x - 2y = 3.
c. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2x + y = 4.
Giải
a. Biến đổi phương trình về dạng: y = 4x - 1.suy ra, các cặp số (0; -1), (1; 3), …là nghiệm của phương trình.
Vậy, phương trình có vô số nghiệm, với dạng tổng quát (x; 4x - 1).
b. Biến đổi phương trình về dạng: x = 2y + 3.
Để nghiệm của phương trình là nghiệm nguyên thì y phải nguyên.
Vậy, phương trình có vô số nghiệm nguyên thoả mãn (2a + 3, a) với a ∈ $\mathbb{Z}$.
c. Biến đổi phương trình về dạng: y = 4 – 2x.
Để x, y nguyên dương điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l}x \in {\mathbb{N}^*}\\4 - 2x \in {\mathbb{N}^*}\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}x \in {\mathbb{N}^*}\\x < 2\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.$.
Vậy, phương trình có duy nhất một cặp nghiệm nguyên dương là (1; 2).
Thí dụ 2. Giải và biện luận phương trình: mx + (m-1)y = m$^2$-1. (1)
Giải
Ta xét từng trường hợp sau:Trường hợp 1: Nếu m = 0 thì: (1) <=> 0.x – y = –1 <=> y = 1.
Vậy, tập hợp nghiệm của phương trình là S = {(x$_0$, 1), x$_0$ ∈ $\mathbb{R}$}.
Trường hợp 2: Nếu và m = 1 thì: (1) <=> x + 0.y = 0 <=> x = 0
Vậy, tập hợp nghiệm của phương trình là S = {(0; y$_0$), y$_0$ ∈ $\mathbb{R}$}.
Trường hợp 3: Nếu m ≠ 0 và m ≠ 1. Khi đó lấy x = x$_0$ tuỳ ý, ta được y$_0$ = $\frac{{{m^2} - 1 - m{x_0}}}{{m - 1}}$.
Vậy, tập hợp nghiệm của phương trình là S = {(x$_0$ ; $\frac{{{m^2} - 1 - m{x_0}}}{{m - 1}}$), x$_0$ ∈ $\mathbb{R}$}.
Sửa lần cuối: