Dạng 1: Hệ thức lượng trong tam giác

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Thí dụ 1 Cho ΔABC, biết a = $\sqrt 6 $, b = 2, c = $\sqrt 3 $ + 1. Tính các góc A, B, C và đường cao ha của tam giác.
Trong ΔABC, ta có: cosA = $\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$ = $\frac{1}{2}$ ⇔ A = 60$^0$; cosB = $\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}$ = $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$ ⇔ B = 45$^0$.
Mặt khác trong ΔABC, ta có: A + B + C = 180$^0$ ⇔ C = 180$^0$ - A - B = 105$^0$.
Ta có: S = $\frac{1}{2}$ha.a = $\frac{1}{2}$b.c.sinA ⇔ h$_a$ = $\frac{{bc.\sin A}}{a}$ = $\frac{{\sqrt 3 + 1}}{{\sqrt 2 }}$.

Thí dụ 2 Cho ΔABC cân tại A. Đường cao BH = a, $A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} C$ = α.
a. Tính các cạnh và đường cao còn lại.
b. Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC.
a. Trong ΔHBC, ta được: sinα = $\frac{{BH}}{{BC}}$ ⇔ BC = $\frac{{BH}}{{\sin \alpha }}$ = $\frac{a}{{\sin \alpha }}$.
hệ thức lượng trong tam giác.png
Trong ΔKAB, ta được: cosα = $\frac{{BK}}{{AB}}$ ⇔ AB = $\frac{{BK}}{{\cos \alpha }}$ = $\frac{{\frac{{BC}}{2}}}{{\cos \alpha }}$ = $\frac{a}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}$,
sinα = $\frac{{AK}}{{AB}}$ ⇔ AK = AB.sinα = $\frac{a}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}$.sinα = $\frac{a}{{2\cos \alpha }}$.

b. Ta có: AC = 2R.sinB ⇔ R = $\frac{{AC}}{{2\sin B}}$ = $\frac{{\frac{a}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}}}{{2\sin \alpha }}$ = $\frac{a}{{4{{\sin }^2}\alpha .\cos \alpha }}$.
SΔABC = pr ⇔ r = $\frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{p}$ = $\frac{{\frac{1}{2}BH.AC}}{{\frac{1}{2}(AB + BC + CA)}}$ = $\frac{a}{{2(1 + \cos \alpha )}}$.

Thí dụ 3 Cho ΔABC, biết b = 7, c = 5, cosA = $\frac{3}{5}$. Tính đường cao h$_a$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác.
Ta có: S = $\frac{1}{2}$ha.a = $\frac{1}{2}$bc.sinA ⇔ ha = $\frac{{b.c.\sin A}}{a}$. (1)
trong đó b, c đã biết và: sin$^2$A = 1 - cos$^2$A = $\frac{{16}}{{25}}$ ⇔ sinA = $\frac{4}{5}$, (2)
a$^2$ = b$^2$ + c$^2$ - 2bc.cosA = 49 = 25 - 2.7.5. $\frac{3}{5}$ = 32 ⇒ a = 4$\sqrt 2 $. (3)
Thay (2), (3) vào (1), ta được ha = $\frac{{7\sqrt 2 }}{2}$.
Ta có: R = $\frac{a}{{2\sin A}}$ = $\frac{{4\sqrt 2 }}{{2.\frac{4}{5}}}$ = $\frac{{5\sqrt 2 }}{2}$.

Thí dụ 4 Cho ΔABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích S = 3$\sqrt 3 $. Tính BC.
Ta có: S = $\frac{1}{2}$AB.AC.sinA ⇔ 3$\sqrt 3 $ = $\frac{1}{2}$.3.4.sinA ⇔ sinA = $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}A = {60^0}\\A = {120^0}\end{array} \right.$.
  • Với A = 60$^0$, ta được: BC$^2$ = AB$^2$ + AC$^2$ - 2AB.AC.cosA = 13 ⇔ BC = $\sqrt {13} $.
  • Với A = 120$^0$, ta được: BC$^2$ = AB$^2$ + AC$^2$ - 2AB.AC.cosA = 37 ⇔ BC = $\sqrt {37} $.
Thí dụ 5 Cho hai đường tròn (I1), (I2) có bán kính bằng 2, 8 tiếp xúc trong với nhau tại A. Nửa đường thẳng vuông góc với I1I2 cắt (I1), (I2) theo thứ tự tại B, C. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC.
Trong ΔABC, ta có R = $\frac{{AB}}{{2\sin A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over C} B}}$. (1)
Trong đường tròn (I$_1$), ta có: AB$^2$ = AA$_1$.AH = 4AH. (2)
Trong đường tròn (I$_2$), ta có: AC$^2$ = AA$_2$.AH = 16AH. (3)
Trong ΔHAC, ta có: sin$A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over C} B$ = sin$A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over C} H$ = $\frac{{AH}}{{AC}}$ = $\frac{{AH}}{{4\sqrt {AH} }}$ = $\frac{{\sqrt {AH} }}{4}$. (4)
Thay (2), (4) vào (1), ta được R = 4.
 
Sửa lần cuối:

Chương 7: Vector, tích vô hướng hai vecto

Lý thuyết vecto

Tọa độ vecto

Tích vô hướng

Góc trong tam giác