Dạng 1: Giải hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp áp dụng
Để giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} Ax + By + C = 0\,\,\,(1)\\ a{x^2} + bxy + c{y^2} + dx + ey + f = 0\,\,\,\,\,\,(2) \end{array} \right.$
chúng ta có thể lựa chọn một trong ba cách sau:
Cách 1: (Phương pháp thế): Ta thực hiện theo các bước sau:
  • Bước 1: Từ phương trình (1) rút x hoặc y rồi thế vào phương trình (2). Khi đó, ta được phương trình bậc hai theo x hoặc y, giả sử: f(x, m) = 0. (3)
  • Bước 2: Thực hiện giải (3) theo yêu cầu của đầu bài.
Cách 2: (Phương pháp đồ thị): Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Ta có:
  • Tập hợp các điểm thoả mãn (1) thuộc đường thẳng (d): Ax + By + C = 0
  • Tập hợp các điểm thoả mãn (2) với b = 0 thuộc đường cong (S): ax$^2$ + cy$^2$ + D$_x$ + ey + f = 0
Bước 2: Khi đó số nghiệm của hệ là số giao điểm của đường thẳng (d) với đường (S).
* Chú ý: Khi sử dụng phương pháp này các em học sinh cần nhớ lại điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (d) với đường tròn, Elíp, Hypebol, Parabol.

Thí dụ 1. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\2m{x^2} - m{y^2} + 4x + 2m - 3 = 0\end{array} \right.$.
a. Giải hệ phương trình với m = 3.
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
Biến đổi hệ về dạng: $\left\{ \begin{array}{l}y = x + 1\\2m{x^2} - m{(x + 1)^2} + 4x + 2m - 3 = 0\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}y = x + 1\\m{x^2} - 2(m - 2)x + m - 3 = 0\,\,\,(1)\end{array} \right.$
a. Với m = 3, hệ có hai cặp nghiệm (0; 1) và ($\frac{2}{3}$; $\frac{5}{3}$).
b. Hệ có nghiệm duy nhất, khi và chỉ khi (1) có nghiệm duy nhất.
Với phương trình (1), ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Với m = 0, ta được: (1) <=> 4x-3 = 0 <=> x = $\frac{3}{4}$ => y = $\frac{7}{4}$, tức là, hệ có nghiệm duy nhất ($\frac{3}{4}$; $\frac{7}{4}$).
Trường hợp 2: Với m ≠ 0, để (1) có nghiệm duy nhất điều kiện là: Δ’$_{(1)}$ = 0 <=> (m-2)$^2$-m(m-3) = 0 <=> -m + 4 = 0 <=> m = 4.
Vậy, với m = 0 hoặc m = 4 hệ có nghiệm duy nhất.

Thí dụ 2. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 1\\x - y = m\end{array} \right.$.
Xác định các giá trị của m để:
a. Hệ phương trình vô nghiệm.
b. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
c. Hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Biến đổi hệ về dạng: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {(x - m)^2} = 1\\y = x - m\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0\,\,\,\,\,(3)\\y = x - m\end{array} \right.$.
a. Hệ đã cho vô nghiệm điều kiện là: (3) vô nghiệm <=> Δ' < 0 <=> m$^2$-2(m$^2$-1) < 0 <=> |m| > $\sqrt 2 $. Vậy, với |m| > $\sqrt 2 $ hệ vô nghiệm.

b. Hệ đã cho có nghiệm duy nhất điều kiện là: (3) có nghiệm duy nhất <=> Δ' = 0 <=> m$^2$-2(m$^2$-1) = 0 <=> m = ±$\sqrt 2 $.
Vậy, với m = ± $\sqrt 2 $ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

c. Hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt điều kiện là:
(3) có hai nghiệm phân biệt <=> Δ' > 0 <=> m$^2$-2(m$^2$-1) > 0 <=> |m| < $\sqrt 2 $.
Vậy, với |m| < $\sqrt 2 $ hệ có hai nghiệm phân biệt.

* Chú ý:
Khi đã có kiến thức về phương trình đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng chúng ta có thể thực hiện theo cách sau:
  • Phương trình (1) là đường tròn (C) có tâm O(0; 0), bán kính R = 1.
  • Phương trình (2) là phương trình đường thằng (d).
a. Hệ vô nghiệm khi: (d) không cắt (C) <=> d(O, d) > R <=> $\frac{{\left| { - m} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }}$ > 1 <=> |m| > $\sqrt 2 $.
Vậy, với |m| > $\sqrt 2 $ hệ vô nghiệm.

b. Hệ có nghiệm duy nhất khi: (d) tiếp xúc (C) <=> d(O, d) = R <=> $\frac{{\left| { - m} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }}$ = 1 <=> m = ± $\sqrt 2 $.
Vậy, với m = ± $\sqrt 2 $ hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

c. Hệ có hai nghiệm phân biệt khi: (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt <=> d(O, d) < R <=> $\frac{{\left| { - m} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }}$ < 1 <=> |m| < $\sqrt 2 $.
Vậy, với |m| < $\sqrt 2 $ hệ có hai nghiệm phân biệt.

Thí dụ 3. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x - y - m = 0\\{y^2} + 2x - 2m - 3 = 0\end{array} \right.$.
a. Giải hệ phương trình với m = 1.
b. Tìm m để hệ có hai cặp nghiệm phân biệt (x1; y1) và (x2; y2) thoả mãn $x_1^2 + y_1^2$ = $x_2^2 + y_2^2$. (*)
Biến đổi hệ về dạng: $\left\{ \begin{array}{l}y = x - m\\{(x - m)^2} + 2x - 2m - 3 = 0\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}y = x - m\\{x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} - 2m - 3 = 0\end{array} \right.$.
a. Với m = 1, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}y = x - 1\\{x^2} - 4 = 0\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}y = x - 1\\x = \pm 2\end{array} \right.$
<=> $\left[ \begin{array}{l}x = 2\,\& \,y = 1\\x = - 2\,\& \,y = - 3\end{array} \right.$.
Vậy, với m = 1 hệ có hai cặp nghiệm (2; 1) và (-2; -3).

b. Biến đổi tiếp hệ về dạng: $\left\{ \begin{array}{l}y = x - m\$x - m - 1)(x - m + 3) = 0\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}y = x - m\\\left[ \begin{array}{l}x - m - 1 = 0\\x - m + 3 - 0\end{array} \right.\end{array} \right.$
<=> $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = m + 1\,\& \,{y_1} = 1\\{x_2} = m - 3\,\& \,{y_1} = - 3\end{array} \right.$.
Tức là, với mọi m hệ luôn có hai cặp nghiệm.
Điều kiện (*) trở thành: (m + 1)$^2$ + 1 = (m-3)$^2$ + 9 <=> 8m-16 = 0 <=> m = 2.
Vậy, với m = 2 thoả mãn điều kiện đầu bài.
 
Sửa lần cuối:

Chương 3: Phương trình và hệ phương trình

Lý thuyết phương trình, hệ phương trình

Phương trình nâng cao

Phương trình và hệ phương trình

Hệ phương trình nâng cao