Dạng 1: Giá trị lượng giác của một góc bất kì

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Thí dụ 1: Tính giá trị của biểu thức A = 4sin$^4$135$^0$ + $\sqrt 3 $cos$^3$150$^0$ - 3cot$^2$120$^0$.
Ta có: A = 4.${\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^4}$ + $\sqrt 3 $${\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^3}$ - 3${\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2}$ = -$\frac{9}{8}$.

Thí dụ 2 Tính giá trị của biểu thức:
A = $\frac{{{a^2}.\sin {{180}^0} - {b^3}\sqrt 2 .\sin {{135}^0} - 2a{b^2}.\cos {{150}^0}}}{{a.\cot g{{150}^0} - b.\cos {0^0} + 2atg{{60}^0}}}$.
Ta có: A = $\frac{{ - {b^3}\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} + 2a{b^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{ - a\sqrt 3 - b + 2a\sqrt 3 }}$ = $\frac{{ - {b^3} + a{b^2}\sqrt 3 }}{{a\sqrt 3 - b}}$ = $\frac{{{b^2}(a\sqrt 3 - b)}}{{a\sqrt 3 - b}}$ = b$^2$.

Thí dụ 3 Biết tan75$^0$ = 2 + $\sqrt 3 $, tính giá trị các hàm số lượng giác của:
a. Góc 105$^0$.
b. Góc 15$^0$.
a. Ta có:
tan105$^0$ = tan(1800 - 75$^0$) = -tan75$^0$ = -2 - $\sqrt 3 $,
cot105$^0$ = $\frac{1}{{\tan {{105}^0}}}$ = -$\frac{1}{{2 + \sqrt 3 }}$ = $\sqrt 3 $ - 2,
cos105$^0$ = cos(180$^0$ - 75$^0$) = -cos75$^0$. (1)
Mặt khác ta có:
$\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ = 1 + tan$^2$α ⇒ cos75$^0$ = $\frac{1}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}{{75}^0}} }}$ = $\frac{{\sqrt 3 - 1}}{{2\sqrt 2 }}$. (2)
Thay (2) vào (1), ta được cos105$^0$ = $\frac{{1 - \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}$.
Khi đó, từ:
tan105$^0$ = $\frac{{\sin {{105}^0}}}{{\cos {{105}^0}}}$ ⇒ sin105$^0$ = tan105$^0$.cos105$^0$ = (-2 - $\sqrt 3 $).$\frac{{1 - \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}$ = $\frac{{\sqrt 3 + 1}}{{2\sqrt 2 }}$.

b. Ta có:
cot15$^0$ = cot(90$^0$ - 75$^0$) = tan75$^0$ = 2 + $\sqrt 3 $, tan15$^0$ = $\frac{1}{{\cot g{{15}^0}}}$ = $\frac{1}{{2 + \sqrt 3 }}$ = 2 - $\sqrt 3 $,
sin15$^0$ = sin(90$^0$ - 75$^0$) = cos75$^0$ = $\frac{{\sqrt 3 - 1}}{{2\sqrt 2 }}$,
cot15$^0$ = $\frac{{\cos {{15}^0}}}{{\sin {{15}^0}}}$ ⇒ cos15$^0$ = cot15$^0$.sin15$^0$ = (2 + $\sqrt 3 $).$\frac{{\sqrt 3 - 1}}{{2\sqrt 2 }}$ = $\frac{{\sqrt 3 + 1}}{{2\sqrt 2 }}$.

Thí dụ 4 Cho góc x với cosx = $\frac{1}{3}$. Tính giá trị của biểu thức P = 3sin$^2$α + cos$^2$α.
Ta có: P = 3sin$^2$α + cos$^2$α = P = 2sin$^2$α + sin$^2$α + cos$^2$α = $^2$ sin$^2$α + 1. (1)
Lại có: cos$^2$α + sin$^2$α = 1 ⇔ sin$^2$α = 1 - cos$^2$α = 1 - ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^2}$⇔ sin$^2$α = $\frac{8}{9}$.Do đó:
(1) ⇔ P = 2 sin$^2$α + 1 = 2. $\frac{8}{9}$ + 1 = $\frac{{25}}{9}$.

Thí dụ 5 Tính tổng S = cos10$^0$ + cos30$^0$ + ... + cos150$^0$ + cos170$^0$.
Viết lại S dưới dạng:
S = (cos10$^0$ + cos170$^0$) + (cos30$^0$ + cos150$^0$) + (cos50$^0$ + cos130$^0$) + (cos70$^0$ + cos110$^0$) + cos90$^0$
= (cos10$^0$ - cos10$^0$) + (cos30$^0$ - cos30$^0$) + (cos50$^0$ - cos50$^0$) + (cos70$^0$ - cos70$^0$) = 0.

Thí dụ 6 Cho hình vuông ABCD. Tính cos($\overrightarrow {AC} $, $\overrightarrow {BA} $), sin($\overrightarrow {AC} $, $\overrightarrow {BD} $), cos($\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {CD} $)
a. Vẽ tia $\overrightarrow {AB} '$ là tia đối của tia $\overrightarrow {AB} $, ta có:
($\overrightarrow {AC} $, $\overrightarrow {BA} $) có số đo CÂB' ⇒ ($\overrightarrow {AC} $, $\overrightarrow {BA} $) = 135$^0$ ⇒ cos($\overrightarrow {AC} $, $\overrightarrow {BA} $) = $ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

b. Ta có: ($\overrightarrow {AC} $, $\overrightarrow {BD} $) = CÔD = 90$^0$ ⇒ sin($\overrightarrow {AC} $, $\overrightarrow {BD} $) = 1

c. Ta có: $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {CD} $ ngược hướng nên ($\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {CD} $) = 0$^0$.
Vậy, ta được cos($\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {CD} $) = 1.
 
Sửa lần cuối:

Chương 7: Vector, tích vô hướng hai vecto

Lý thuyết vecto

Tọa độ vecto

Tích vô hướng

Góc trong tam giác