Biến đổi hệ thức lượng giác nâng cao thành tổng là trọng tâm trong tam giác, gồm các hệ thức lượng giác đối với sin, cos, tan, cot và bất đẳng thức.
Chú ý: Các em học sinh cần biết rằng những phép biến đổi kiểu này là rất cần thiết khi thực hiện các bài toán về đạo hàm và tính tích phân (thuộc kiến thức toán 12).
a. A = sina.sin2a.sin3a.
b. B = cosa.cos2a.cos4a.
= $\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$(sin4a + sin2a) - $\frac{1}{2}$sin6a] = $\frac{1}{4}$(sin2a + sin4a - sin6a).
b. Biến đổi biểu thức về dạng: B = $\frac{1}{2}$(cos3a + cosa).cos4a = $\frac{1}{2}$(cos4a.cos3a + cos4a.cosa)
= $\frac{1}{4}$(cos7a + cosa + cos5a + cos3a).
Nhận xét: Như vậy, trong thí dụ trên để thực hiện mục đích biến đổi biểu thức về dạng tổng chúng ta đã sử dụng hai lần liên tiếp công thức biến đổi tích thành tổng. Tuy nhiên, trong những trường hợp riêng cần lựa chọn hai đối tượng phù hợp để giảm thiểu độ phức tạp, chúng ta sẽ minh hoạ thông qua ví dụ sau:
Thí dụ 2. Biến đổi biểu thức sau thành tổng: A = 8sin(a - $\frac{\pi }{6}$).cos2a.sin(a + $\frac{\pi }{6}$).
= 4.$\frac{1}{2}$.cos2a - 4cos$^2$a = 2cos2a - 2(1 + cos4a) = -2 + 2cos2a - 2cos4a.
Nhận xét: Như vậy, trong thí dụ trên chúng ta ghép bộ đôi góc a - $\frac{\pi }{6}$ và a + $\frac{\pi }{6}$ (có tính khử đối với phép cộng và trừ) để sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.
Phương pháp áp dụng
Sử dụng các công thức lượng giác, thông thường là công thức biến đổi tích thành tổng.Chú ý: Các em học sinh cần biết rằng những phép biến đổi kiểu này là rất cần thiết khi thực hiện các bài toán về đạo hàm và tính tích phân (thuộc kiến thức toán 12).
Ví dụ minh họa
Thí dụ 1. Biến đổi các biểu thức sau thành tổng:a. A = sina.sin2a.sin3a.
b. B = cosa.cos2a.cos4a.
Giải
a. Biến đổi biểu thức về dạng: A = $\frac{1}{2}$(cosa - cos3a).sin3a = $\frac{1}{2}$(sin3a.cosa - cos3a.sin3a)= $\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$(sin4a + sin2a) - $\frac{1}{2}$sin6a] = $\frac{1}{4}$(sin2a + sin4a - sin6a).
b. Biến đổi biểu thức về dạng: B = $\frac{1}{2}$(cos3a + cosa).cos4a = $\frac{1}{2}$(cos4a.cos3a + cos4a.cosa)
= $\frac{1}{4}$(cos7a + cosa + cos5a + cos3a).
Nhận xét: Như vậy, trong thí dụ trên để thực hiện mục đích biến đổi biểu thức về dạng tổng chúng ta đã sử dụng hai lần liên tiếp công thức biến đổi tích thành tổng. Tuy nhiên, trong những trường hợp riêng cần lựa chọn hai đối tượng phù hợp để giảm thiểu độ phức tạp, chúng ta sẽ minh hoạ thông qua ví dụ sau:
Thí dụ 2. Biến đổi biểu thức sau thành tổng: A = 8sin(a - $\frac{\pi }{6}$).cos2a.sin(a + $\frac{\pi }{6}$).
Giải
Biến đổi biểu thức về dạng: A = 4[2sin(a + $\frac{\pi }{6}$).sin(a - $\frac{\pi }{6}$)].cos2a = 4(cos$\frac{\pi }{3}$ - cos2a).cos2a= 4.$\frac{1}{2}$.cos2a - 4cos$^2$a = 2cos2a - 2(1 + cos4a) = -2 + 2cos2a - 2cos4a.
Nhận xét: Như vậy, trong thí dụ trên chúng ta ghép bộ đôi góc a - $\frac{\pi }{6}$ và a + $\frac{\pi }{6}$ (có tính khử đối với phép cộng và trừ) để sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.
Sửa lần cuối: