Đường thẳng và mặt phẳng là một phần quan trọng trong hình học không gian lớp 11. Để đạt điểm cao, học tốt hình không gian thì các em cần hiểu rõ chủ đề này. Với mong muốn hs hiểu rõ, 7scv viết chuyên đề này
Quan hệ thuộc: Trong không gian:
a. Với một điểm A và một đường thẳng d có thể xảy ra hai trường hợp:
Hình gồm n tam giác đó và đa giác ${A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}$ được gọi là hình chóp $S.{A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}\,.$
Trong đó:
Chú ý
a. Hình chóp tam giác còn được gọi là hình tứ diện.
b. Hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều hay có tất cả các cạnh bằng nhau được gọi là hình tứ diện đều.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.
B.Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
C.Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
D.Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
Câu 2. Trong không gian, cho 4 điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?
A. 6.
B.4.
C.3.
D.2.
Câu 3. Trong mặt phẳng (α), cho 4 điểm A, B, C, D trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Điểm S không thuộc mặt phẳng (α). Có mấy mặt phẳng tạo bởi S và 2 trong 4 điểm nói trên?
A. 4.
B.5.
C.6.
D.8.
Câu 4. Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi 3 trong 5 điểm đã cho.
A. 10.
B.12.
C.8.
D.14.
Câu 5. Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
A. Ba điểm phân biệt.
B.Một điểm và một đường thẳng.
C.Hai đường thẳng cắt nhau.
D.Bốn điểm phân biệt.
Câu 6. Cho tứ giác ABC
D.Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các định của tứ giác ABCD.
A. 1.
B.2.
C.3.
D.0.
Câu 7. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng P và Q thì A, B, C thẳng hàng.
B.Nếu A, B, C thẳng hàng và P, Q có điểm chung là A thì B, C cũng là 2 điểm chung của P và Q.
C.Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng P và Q phân biệt thì A, B, C không thẳng hàng.
D.Nếu A, B, C thẳng hàng và A, B là 2 điểm chung của P và Q thì C cũng là điểm chung của P và Q.
Câu 8. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa.
B.Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
C.Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
D.Hai mặt phẳng cùng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó trùng nhau.
Câu 9. Cho 3 đường thẳng ${d_1},\;{d_2},\;{d_3}$ không cùng thuộc một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 3 đường thẳng trên đồng quy.
B.3 đường thẳng trên trùng nhau.
C.3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác.
D.Các khẳng định ở A, B, C đều sai.
Câu 10. Thiết diện của 1 tứ diện có thể là:
A. Tam giác.
B.Tứ giác.
C.Ngũ giác.
D.Tam giác hoặc tứ giác.
Khi thiết diện cắt 3 mặt của tứ diện thì sẽ tạo thành 3 giao tuyến. Ba giao tuyến lập thành 1 hình tam giác.
Khi thiết diện cắt cả 4 mặt của tứ diện thì sẽ tạo thành 4 giao tuyến. Bốn giao tuyến lập thành 1 hình tứ giác.
Thiết diện không thể là ngũ giác vì thiết diện có 4 mặt, số giao tuyến tối đa là 4. Chọn D
Vấn đề 2. TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang $ABCD{\rm{ }}\left( {AB\parallel CD} \right).$ Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.
B.Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$ là SO$(O$ là giao điểm của AC và $BD).$
C.Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là SI$(I$ là giao điểm của AD và $BC).$
D.Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$ là đường trung bình của ABCD.
* Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên: $\left( {SAB} \right),\;\left( {SBC} \right),\;\left( {SCD} \right),\;\left( {SAD} \right).$ Do đó A đúng.
* S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right).$
$\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow O \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O$ là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right).$
$ \to \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO.$ Do đó B đúng.
* Tương tự, ta có $\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SI.$ Do đó C đúng.
* $\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA$ mà $SA$ không phải là đường trung bình của hình thang ABC
D.Do đó D sai. Chọn D
Câu 12. Cho tứ diện ABC
D.Gọi G là trọng tâm của tam giác BC
D.Giao tuyến của mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right)$là:
A. $AM{\rm{ }}(M$là trung điểm của AB).
B.$AN{\rm{ }}(N$là trung điểm của CD).
C.$AH{\rm{ }}(H$là hình chiếu của B trên CD).
D.$AK{\rm{ }}(K$là hình chiếu của C trên BD).
* A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right).$
* Ta có $BG \cap CD = N \to \left\{ \begin{array}{l} N \in BG \subset \left( {ABG} \right) \Rightarrow N \in \left( {ABG} \right)\\ N \in CD \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow N \in \left( {ACD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow N$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right).$
Vậy $\left( {ABG} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AN.$ Chọn B
Câu 13. Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α) chứa tam giác $BCD.$ Lấy $E,\,\,F$ là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh $AB,\,\,AC.$ Khi EF và BC cắt nhau tại I, thì I không phải là điểm chung của hai mặt phẳng nào sau đây?
A. $\left( {BCD} \right)$ và $\left( {DEF} \right).$
B.$\left( {BCD} \right)$ và $\left( {ABC} \right).$
C.$\left( {BCD} \right)$ và $\left( {AEF} \right).$
D.$\left( {BCD} \right)$ và $\left( {ABD} \right).$
Điểm I là giao điểm của EF và BC mà $\left\{ \begin{array}{l}EF \subset \left( {DEF} \right)\\EF \subset \left( {ABC} \right)\\EF \subset \left( {AEF} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I = \left( {BCD} \right) \cap \left( {DEF} \right)\\I = \left( {BCD} \right) \cap \left( {ABC} \right)\\I = \left( {BCD} \right) \cap \left( {AEF} \right)\end{array} \right.\,.$
Chọn D
Câu 14. Cho tứ diện ABC
D.Gọi $M,{\rm{ }}N$ lần lượt là trung điểm của $AC,{\rm{ }}CD.$ Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {MBD} \right)$ và $\left( {ABN} \right)$ là:
A. đường thẳng MN.
B.đường thẳng AM.
C.đường thẳng $BG{\rm{ }}(G$ là trọng tâm tam giác $ACD).$
D.đường thẳng $AH{\rm{ }}(H$ là trực tâm tam giác $ACD).$
* B là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {MBD} \right)$ và $\left( {ABN} \right).$
* Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC,{\rm{ }}CD$ nên suy ra $AN,{\rm{ }}DM$ là hai trung tuyến của tam giác $ACD.$ Gọi $G = AN \cap DM$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}G \in AN \subset \left( {ABN} \right) \Rightarrow G \in \left( {ABN} \right)\\G \in DM \subset \left( {MBD} \right) \Rightarrow G \in \left( {MBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow G$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {MBD} \right)$ và $\left( {ABN} \right).$
Vậy $\left( {ABN} \right) \cap \left( {MBD} \right) = BG.$ Chọn C
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi $M,{\rm{ }}N$ lần lượt là trung điểm AD và B
C.Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SMN} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ là:
A. SD.
B.$SO{\rm{ }}(O$ là tâm hình bình hành $ABCD).$
C.$SG{\rm{ }}(G$ là trung điểm $AB).$
D.$SF{\rm{ }}(F$ là trung điểm $CD).$
* Slà điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {SMN} \right)$ và $\left( {SAC} \right).$
* Gọi $O = AC \cap BD$ là tâm của hình hình hành.
Trong mặt phẳng ABCD gọi $T = AC \cap MN$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)\\O \in MN \subset \left( {SMN} \right) \Rightarrow O \in \left( {SMN} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {SMN} \right)$ và $\left( {SAC} \right).$
Vậy $\left( {SMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SO.$ Chọn B
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi $I,{\rm{ }}J$ lần lượt là trung điểm $SA,{\rm{ }}SB.$ Khẳng định nào sau đây sai?
A. IJCD là hình thang.
B.$\left( {SAB} \right) \cap \left( {IBC} \right) = IB.$
C.$\left( {SBD} \right) \cap \left( {JCD} \right) = JD.$
D.$\left( {IAC} \right) \cap \left( {JBD} \right) = AO{\rm{ }}(O$ là tâm $ABCD).$
* Ta có IJ là đường trung bình của tam giác SAB $ \Rightarrow IJ\parallel AB\parallel CD \Rightarrow IJ\parallel CD$
$ \Rightarrow IJCD$ là hình thang. Do đó A đúng.
* Ta có $\left\{ \begin{array}{l}IB \subset \left( {SAB} \right)\\IB \subset \left( {IBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {IBC} \right) = IB.$ Do đó B đúng.
* Ta có $\left\{ \begin{array}{l}JD \subset \left( {SBD} \right)\\JD \subset \left( {JBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SBD} \right) \cap \left( {JBD} \right) = JD.$ Do đó C đúng.
* Trong mặt phẳng $\left( {IJCD} \right)$, gọi $M = IC \cap JD$$ \Rightarrow \left( {IAC} \right) \cap \left( {JBD} \right) = MO.$ Do đó D sai. Chọn D
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang $ABCD{\rm{ }}\left( {AD\parallel BC} \right).$ Gọi M là trung điểm $CD.$ Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {MSB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ là:
A. $SI{\rm{ }}(I$ là giao điểm của AC và BM).
B.$SJ{\rm{ }}(J$ là giao điểm của AM và BD).
C.$SO{\rm{ }}(O$ là giao điểm của AC và BD).
D.$SP{\rm{ }}(P$ là giao điểm của AB và CD).
* S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {MSB} \right)$ và $\left( {SAC} \right).$
* Ta có $\left\{ \begin{array}{l}I \in BM \subset \left( {SBM} \right) \Rightarrow I \in \left( {SBM} \right)\\I \in \left( {AC} \right) \in \left( {SAC} \right) \Rightarrow I \in \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {MSB} \right)$ và $\left( {SAC} \right).$
Vậy $\left( {MSB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SI.$ Chọn A.
Câu 18. Cho 4 điểm không đồng phẳng $A,\,\,B,\,\,C,\,\,D.$ Gọi $I,\,\,K$ lần lượt là trung điểm của AD và $BC.$ Giao tuyến của $\left( {IBC} \right)$ và $\left( {KAD} \right)$ là:
A. IK.
B.BC.
C.AK.
D.DK.
Điểm $K$ là trung điểm của BC suy ra $K \in \left( {IBC} \right)\,\, \Rightarrow \,\,IK \subset \left( {IBC} \right).$
Điểm I là trung điểm của AD suy ra $I \in \left( {KAD} \right)\,\, \Rightarrow \,\,IK \subset \left( {KAD} \right).$
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {IBC} \right)$ và $\left( {KAD} \right)$ là $IK.$ Chọn A.
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với $AB\parallel CD$. Gọi I là giao điểm của AC và B
D.Trên cạnh SB lấy điểm M. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {ADM} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$.
A. SI.
B.AE (E là giao điểm của DM và SI).
C.DM.
D.DE (E là giao điểm của DM và SI)
Ta có A là điểm chung thứ nhất của $\left( {ADM} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$, gọi $E = SI \cap DM$.
Ta có:
* $E \in SI$ mà $SI \subset \left( {SAC} \right)$ suy ra $E \in \left( {SAC} \right)$.
* $E \in DM$ mà $DM \subset \left( {ADM} \right)$ suy ra $E \in \left( {ADM} \right)$.
Do đó E là điểm chung thứ hai của $\left( {ADM} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$.
Vậy $AE$ là giao tuyến của $\left( {ADM} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$. Chọn B
Câu 20. Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác $ACD\,.$ Gọi I và J lần lượt là hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với $CD\,.$ Gọi $H,\,\,K$ lần lượt là giao điểm của IJ với $CD$ của $MH$ và $AC\,.$ Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {IJM} \right)$ là:
A. KI.
B.KJ.
C.MI.
D.MH.
Trong mặt phẳng $\left( {BCD} \right),$ IJ cắt $CD$ tại $H\,\, \Rightarrow \,\,H \in \left( {ACD} \right).$
Điểm $H \in IJ$ suy ra bốn điểm $M,\,\,I,\,\,J,\,\,H$ đồng phẳng.
Nên trong mặt phẳng $\left( {IJM} \right)$, $MH$ cắt IJ tại H và $MH \subset \left( {IJM} \right).$
Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( {ACD} \right)\\H \in \left( {ACD} \right)\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,MH \subset \left( {ACD} \right).$ Vậy $\left( {ACD} \right) \cap \left( {IJM} \right) = MH.$ Chọn A.
Vấn đề 3. TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Câu 21. Cho bốn điểm $A,\,\,B,\,\,C,\,\,D$ không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và $BC.$ Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho $BP = 2PD.$ Giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ là giao điểm của
A. CD và NP.
B.CD và MN.
C.CD và MP.
D.CD và AP.
Cách 1. Xét mặt phẳng BCD chứa $CD\,.$
Do $NP$ không song song $CD$ nên $NP$ cắt $CD$ tại $E\,.$
Điểm $E \in NP\,\, \Rightarrow \,\,E \in \left( {MNP} \right).$ Vậy $CD \cap \left( {MNP} \right)$ tại $E.$ Chọn A.
Cách 2. Ta có $\left\{ \begin{array}{l}N \in BC\\P \in BD\end{array} \right. \Rightarrow NP \subset \left( {BCD} \right)$ suy ra $NP,\,\,CD$ đồng phẳng.
Gọi E là giao điểm của $NP$ và $CD$ mà $NP \subset \left( {MNP} \right)$ suy ra $CD \cap \left( {MNP} \right) = E\,.$
Vậy giao điểm của $CD$ và $mp\;\left( {MNP} \right)$ là giao điểm E của $NP$ và $CD\,.$
Câu 22. Cho tứ diện ABC
D.Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; G là trọng tâm tam giác BC
D.Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ là
A. điểm F.
B.giao điểm của đường thẳng EG và AF.
C.giao điểm của đường thẳng EG và AC.
D.giao điểm của đường thẳng EG và CD.
Vì G là trọng tâm tam giác $BCD,\,\,\,F$ là trung điểm của $CD$$ \Rightarrow \,\,\,G \in \left( {ABF} \right)\,.$
Ta có E là trung điểm của AB$ \Rightarrow \,\,\,E \in \left( {ABF} \right)\,.$
Gọi M là giao điểm của $EG$ và $AF$ mà $AF \subset \left( {ACD} \right)$ suy ra $M \in \left( {ACD} \right)\,.$
Vậy giao điểm của $EG$ và $mp\,\,\left( {ACD} \right)$ là giao điểm $M = EG \cap AF\,.$ Chọn B
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của $SC.$ Gọi I là giao điểm của AM với mặt phẳng $\left( {SBD} \right).$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $\overrightarrow {IA} = - \,2\overrightarrow {IM} .$
B.$\overrightarrow {IA} = - \,3\overrightarrow {IM} .$
C.$\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IM} .$
D.$IA = 2,5IM.$
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm của $AC\,.$
Nối AM cắt SO tại I mà $SO \subset \left( {SBD} \right)$ suy ra $I = AM \cap \left( {SBD} \right).$
Tam giác $SAC$ có $M,\,\,O$ lần lượt là trung điểm của $SC,\,\,AC.$
Mà $I = AM \cap SO$ suy ra I là trọng tâm tam giác $SAC\,\, \Rightarrow \,\,AI = \frac{2}{3}AM\,\, \Leftrightarrow \,\,IA = 2IM.$
Điểm I nằm giữa A và M suy ra $\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {MI} = - \,2\overrightarrow {IM} .$ Chọn A.
Câu 24. Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt phẳng ABC
D.Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và
C.Giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$ là
A. giao điểm của SD và AB.
B.giao điểm của SD và AM.
C.giao điểm của SD và BK (với $K = SO \cap AM$).
D.giao điểm của SD và MK (với $K = SO \cap AM$).
* Chọn mặt phẳng phụ $\left( {SBD} \right)$ chứa $SD$.
* Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ và $\left( {ABM} \right)$.
Ta có B là điểm chung thứ nhất của $\left( {SBD} \right)$ và $\left( {ABM} \right)$.
Trong mặt phẳng ABCD, gọi $O = AC \cap BD$. Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$, gọi $K = AM \cap SO$. Ta có:
* ABCD mà 2a suy ra M.
* N mà AC suy ra BC.
Suy ra P là điểm chung thứ hai của BCD và $\left( {MNP} \right)$.
Do đó $\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{2}.$.
* Trong mặt phẳng $\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}.$, gọi $\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}.$. Ta có:
* $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$ mà BCD suy ra P.
* N.
Vậy B
C.Chọn C
Câu 25. Cho bốn điểm N không cùng ở trong một mặt phẳng. Gọi P lần lượt là trung điểm của
D.Trên MND lấy điểm MND sao cho $MN = \frac{{AB}}{2} = a$ không song song với $DM = DN = \frac{{AD\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 $ (MND không trùng với các đầu mút). Gọi E là giao điểm của đường thẳng D với mặt phẳng H. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. E nằm ngoài đoạn BC về phía B.
B.E nằm ngoài đoạn BC về phía C.
C.E nằm trong đoạn BC.
D.E nằm trong đoạn BC và $E \ne B,{\rm{ }}E \ne C.$
* Chọn mặt phẳng phụ $\left( {ABC} \right)$ chứa BC.
* Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $DH \bot MN$ và ${S_{\Delta MND}} = \frac{1}{2}MN.DH = \frac{1}{2}MN.\sqrt {D{M^2} - M{H^2}} = \frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}$.
Ta có H là điểm chung thứ nhất của $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {IHK} \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$, do $IK$ không song song với AC nên gọi $F = IK \cap AC$. Ta có
* $F \in AC$ mà $AC \subset \left( {ABC} \right)$ suy ra $F \in \left( {ABC} \right)$.
* $F \in IK$ mà $IK \subset \left( {IHK} \right)$ suy ra $F \in \left( {IHK} \right)$.
Suy ra $F$ là điểm chung thứ hai của $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {IHK} \right)$.
Do đó $\left( {ABC} \right) \cap \left( {IHK} \right) = HF$.
* Trong mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$, gọi $E = HF \cap BC$. Ta có
* $E \in HF$ mà $HF \subset \left( {IHK} \right)$ suy ra $E \in \left( {IHK} \right)$.
* $E \in BC$.
Vậy $E = BC \cap \left( {IHK} \right)$. Chọn D
Vấn đề 4. THIẾT DIỆN
Câu 26. Cho tứ diện ABC
D.Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC, E là điểm trên cạnh CD với ED = 3E
C.Thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( {MNE} \right)$ và tứ diện ABCD là:
A. Tam giác MNE.
B.Tứ giác MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD.
C.Hình bình hành MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF//BC.
D.Hình thang MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF//BC.
Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,AC\,.$
Suy ra MNlà đường trung bình của tam giác ABC $ \Rightarrow \,\,MN$//$BC\,.$
Từ E kẻ đường thẳng d song song với BC và cắt BD tại $F\,\, \Rightarrow \,\,EF$//$BC.$
Do đó $MN$//EF suy ra bốn điểm $M,\,\,N,\,\,E,\,\,F$ đồng phẳng và $MNEF$ là hình thang.
Vậy hình thang $MNEF$ là thiết diện cần tìm. Chọn D
Câu 27. Cho tứ diện ABCD.Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC.Trên đường thẳng CD lấy điểm M nằm ngoài đoạn C
D.Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng $\left( {HKM} \right)$ là:
A. Tứ giác HKMN với $N \in AD$.
B.Hình thang HKMN với $N \in AD$ và $HK\parallel MN$.
C.Tam giác HKL với $L = KM \cap BD$.
D.Tam giác HKL với $L = HM \cap AD$.
Ta có $HK$, $KM$ là đoạn giao tuyến của $\left( {HKM} \right)$ với $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$, do $KM$ không song song với BD nên gọi $L = KM \cap BD$.
Vậy thiết diện là tam giác $HKL$. Chọn C
Câu 28. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng $a\,\,\,\,\left( {a > 0} \right).$ Các điểm $M,\,\,N,\,\,P$ lần lượt là trung điểm của $SA,\,\,SB,\,\,SC\,.$ Mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích bằng:
A. ${a^2}.$
B.$\frac{{{a^2}}}{2}.$
C.$\frac{{{a^2}}}{4}.$
D.$\frac{{{a^2}}}{{16}}.$
Gọi $Q$ là trung điểm của $SD\,.$
Tam giác $SAD$có $M,\,\,Q$ lần lượt là trung điểm của $SA,\,\,SD$ suy ra $MQ$//$AD\,.$
Tam giác $SBC$ có $N,\,\,P$ lần lượt là trung điểm của $SB,\,\,SC$ suy ra $NP$//$BC\,.$
Mặt khác AD//BC suy ra $MQ$//$NP$ và $MQ = NP\,\, \Rightarrow \,\,MNPQ$ là hình vuông.
Khi đó $M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q$ đồng phẳng $ \Rightarrow \,\,\left( {MNP} \right)$ cắt $SD$ tại $Q\,$ và $MNPQ$ là thiết diện của hình chóp S.ABCD với $mp\,\,\left( {MNP} \right).$
Vậy diện tích hình vuông $MNPQ$ là ${S_{MNPQ}} = \frac{{{S_{ABCD}}}}{4} = \frac{{{a^2}}}{4}.$ Chọn C
Câu 29. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng $a\,.$ Gọi G là trọng tâm tam giác $ABC.$ Mặt phẳng $\left( {GCD} \right)$ cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là:
A. $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$
B.$\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}.$
C.$\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6}.$
D.$\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,BC$ suy ra $AN \cap MC = G.$
Dễ thấy mặt phẳng $\left( {GCD} \right)$ cắt đường thắng AB tại điểm $M.$
Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng $\left( {GCD} \right)$ và tứ diện $ABCD\,.$
Tam giác ABD đều, có M là trung điểm AB suy ra $MD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
Tam giác ABC đều, có M là trung điểm AB suy ra $MC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
Gọi H là trung điểm của $CD\,\, \Rightarrow \,\,MH \bot CD\,\, \Rightarrow \,\,{S_{\Delta MCD}} = \frac{1}{2}.MH.CD$
Với $MH = \sqrt {M{C^2} - H{C^2}} = \sqrt {M{C^2} - \frac{{C{D^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$
Vậy ${S_{\Delta MCD}} = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\,.$ Chọn B
Câu 30. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BC; P là trọng tâm tam giác BC
D.Mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là:
A. $\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{2}.$
B.$\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}.$
C.$\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}.$
D.$\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$
Trong tam giác BCD có: P là trọng tâm, N là trung điểm B
C.Suy ra N, P, D thẳng hàng.
Vậy thiết diện là tam giác MND.
Xét tam giác MND, ta có $MN = \frac{{AB}}{2} = a$; $DM = DN = \frac{{AD\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 $.
Do đó tam giác MND cân tại D.
Gọi H là trung điểm MNsuy ra $DH \bot MN$.
Diện tích tam giác ${S_{\Delta MND}} = \frac{1}{2}MN.DH = \frac{1}{2}MN.\sqrt {D{M^2} - M{H^2}} = \frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}$. Chọn C
Vấn đề 5. BA ĐIỂM THẲNG HÀNG BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
Câu 31. Cho tứ diện ABC
D.Gọi $M,{\rm{ }}N$ lần lượt là trung điểm của AB và C
D.Mặt phẳng (α) qua MNcắt $AD,{\rm{ }}BC$ lần lượt tại P và Q. Biết MP cắt NQ tại I. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
A. $I,{\rm{ }}A,{\rm{ }}C.$
B.$I,{\rm{ }}B,{\rm{ }}D.$
C.$I,{\rm{ }}A,{\rm{ }}B.$
D.$I,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D.$
Ta có $\left( {ABD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BD$.
Lại có $\left\{ \begin{array}{l}I \in MP \subset \left( {ABD} \right)\\I \in NQ \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I$ thuộc giao tuyến của $\left( {ABD} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$
$ \Rightarrow I \in BD \Rightarrow I,{\rm{ }}B,{\rm{ }}D$ thẳng hàng. Chọn B
Câu 32. Cho tứ diện SAB
C.Gọi $L,{\rm{ }}M,{\rm{ }}N$ lần lượt là các điểm trên các cạnh $SA,{\rm{ }}SB$ và AC sao cho $LM$ không song song với AB, $LN$ không song song với S
C.Mặt phẳng $\left( {LMN} \right)$ cắt các cạnh $AB,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}SC$ lần lượt tại $K,{\rm{ }}I,{\rm{ }}J$. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
A. $K,{\rm{ }}I,{\rm{ }}J.$
B.$M,{\rm{ }}I,{\rm{ }}J.$
C.$N,{\rm{ }}I,{\rm{ }}J.$
D.$M,{\rm{ }}K,{\rm{ }}J.$
Ta có
* $M \in SB$ suy M là điểm chung của $\left( {LMN} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.
* I là điểm chung của $\left( {LMN} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.
* J là điểm chung của $\left( {LMN} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.
Vậy $M,{\rm{ }}I,{\rm{ }}J$ thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của $\left( {LMN} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$. Chọn B
Câu 33. Cho tứ diện ABC
D.Gọi G là trọng tâm tam giác $BCD,$ M là trung điểm $CD,$ I là điểm ở trên đoạn thẳng $AG,$ $BI$ cắt mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ tại $J.$ Khẳng định nào sau đây sai?
A. $AM = \left( {ACD} \right) \cap \left( {ABG} \right).$
B.$A,{\rm{ }}J,{\rm{ }}M$ thẳng hàng.
C.J là trung điểm của AM.
D.$DJ = \left( {ACD} \right) \cap \left( {BDJ} \right).$
Ta có A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right).$
Do $BG \cap CD = M \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in BG \subset \left( {ABG} \right) \Rightarrow M \in \left( {ABG} \right)\\M \in CD \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow M \in \left( {ACD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right).$
$ \Rightarrow \left( {ABG} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AM \to $A đúng.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BI \subset \left( {ABG} \right)\\AM \subset \left( {ABM} \right)\\\left( {ABG} \right) \equiv \left( {ABM} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AM,BI$ đồng phẳng.
$ \Rightarrow J = BI \cap AM \Rightarrow A,J,M$ thẳng hàng => B đúng.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} DJ \subset \left( {ACD} \right)\\ DJ \subset \left( {BDJ} \right) \end{array} \right. \Rightarrow DJ = \left( {ACD} \right) \cap \left( {BDJ} \right) \to $
D đúng.
Điểm I di động trên AG nên J có thể không phải là trung điểm của AM
=> C sai. Chọn C
Câu 34. Cho tứ diện ABC
D.Gọi $E,{\rm{ }}F,{\rm{ }}G$ là các điểm lần lượt thuộc các cạnh $AB,{\rm{ }}AC,{\rm{ }}BD$ sao cho EF cắt BC tại I, $EG$ cắt AD tại H. Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?
A. $CD,{\rm{ }}EF,{\rm{ }}EG.$
B.$CD,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}HF.$
C.$AB,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}HF$.
D.$AC,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}BD.$
Phương pháp: Để chứng minh ba đường thẳng ${d_1},{\rm{ }}{d_2},{\rm{ }}{d_3}$ đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và $\left( \beta \right)$; đồng thời ${d_3}$ là giao tuyến (α) và $\left( \beta \right)$.
Gọi $O = HF \cap IG$. Ta có
* $O \in HF$ mà $HF \subset \left( {ACD} \right)$ suy ra $O \in \left( {ACD} \right)$.
* $O \in IG$ mà $IG \subset \left( {BCD} \right)$ suy ra $O \in \left( {BCD} \right)$.
Do đó $O \in \left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right)$. $\left( 1 \right)$
Mà $\left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = CD$. $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra $O \in CD$.
Vậy ba đường thẳng $CD,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}HF$ đồng quy. Chọn B
Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không phải là hình thang. Trên cạnh SC lấy điểm M. Gọi N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng $\left( {AMB} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đôi một song song.
B.Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đôi một cắt nhau.
C.Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đồng quy.
D.Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ cùng thuộc một mặt phẳng.
Gọi $I = AD \cap BC.$ Trong mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$, gọi $K = BM \cap SI$. Trong mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$, gọi $N = AK \cap SD$.
Khi đó N là giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $\left( {AMB} \right)$.
Gọi $O = AB \cap CD$. Ta có:
* $O \in AB$ mà $AB \subset \left( {AMB} \right)$ suy ra $O \in \left( {AMB} \right)$.
* $O \in CD$ mà $CD \subset \left( {SCD} \right)$ suy ra ${\rm{IJ}},MN,SE$.
Do đó $O \in \left( {AMB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$. $\left( 1 \right)$
Mà $\left( {AMB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = MN$. $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra $O \in MN$. Vậy ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đồng quy. Chọn C
1. Mở đầu về hình học không gian
Hình học không gian có các đối tượng cơ bản là điểm, đường thẳng và mặt phẳng.Quan hệ thuộc: Trong không gian:
a. Với một điểm A và một đường thẳng d có thể xảy ra hai trường hợp:
- Điểm A thuộc đường thẳng d, kí hiệu $A \in d\,.$
- Điểm A không thuộc đường thẳng, kí hiệu $A \notin d\,.$
- Điểm A thuộc mặt thẳng (P), kí hiệu $A \in \left( P \right)\,.$
- Điểm A không thuộc đường thẳng, kí hiệu $A \notin \left( P \right)\,.$
2. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian
Có 5 tính chất- Tính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
- Tính chất thừa nhận 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
- Tính chất thừa nhận 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
- Tính chất thừa nhận 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
- Tính chất thừa nhận 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết đã biết của hình học phẳng đều đúng.
3. Điều kiện xác định mặt phẳng
Có bốn cách xác định trong một mặt phẳng:- Cách 1: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng của mặt phẳng, kí hiệu ABC
- Cách 2: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng d và một điểm A không thuộc d, kí hiệu A,d
- Cách 3: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng a, b cắt nhau, kí hiệu a, b.
- Cách 4: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng a, b song song, kí hiệu a, b.
4. Hình chóp và tứ diện
Định nghĩa: Cho đa giác ${A_1}{A_2}...{A_n}$ và cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với các đỉnh ${A_1},\,\,{A_2},\,\,...,\,\,{A_n}$ ta được n miền đa giác $S{A_1}{A_2},\,\,S{A_2}{A_3},\,\,...,\,\,S{A_{n - 1}}{A_n}\,.$Trong đó:
- Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp.
- Đa giác ${A_1}{A_2}...{A_n}$ gọi là mặt đáy của hình chóp.
- Các đoạn thẳng ${A_1}{A_2},\,\,{A_2}{A_3},\,\,...,\,\,{A_{n - 1}}{A_n}$ gọi là các cạnh đáy của hình chóp.
- Các đoạn thẳng $S{A_1},\,\,S{A_2},\,\,...,\,\,S{A_n}$ gọi là các cạnh bên của hình chóp.
- Các miền tam giác $S{A_1}{A_2},\,\,S{A_2}{A_3},\,\,...,\,\,S{A_{n - 1}}{A_n}$ gọi là các mặt bên của hình chóp.
Chú ý
a. Hình chóp tam giác còn được gọi là hình tứ diện.
b. Hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều hay có tất cả các cạnh bằng nhau được gọi là hình tứ diện đều.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.
B.Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
C.Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
D.Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
Chọn C
* A sai. Qua 2 điểm phân biệt, tạo được 1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho.
* B sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi đó có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng.
* D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
* A sai. Qua 2 điểm phân biệt, tạo được 1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho.
* B sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi đó có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng.
* D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
A. 6.
B.4.
C.3.
D.2.
Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định.
Khi đó, với 4 điểm không đồng phẳng ta tạo được tối đa $C_4^3 = 4$ mặt phẳng. Chọn B
Khi đó, với 4 điểm không đồng phẳng ta tạo được tối đa $C_4^3 = 4$ mặt phẳng. Chọn B
A. 4.
B.5.
C.6.
D.8.
Với điểm S không thuộc mặt phẳng (α) và 4 điểm A, B, C, D thuộc mặt phẳng (α), ta có $C_4^2$ cách chọn 2 trong 4 điểm A, B, C, D cùng với điểm S lập thành 1 mặt phẳng xác định. Vậy số mặt phẳng tạo được là 6. Chọn C
A. 10.
B.12.
C.8.
D.14.
Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định.
Ta có $C_5^3$ cách chọn 3 điểm trong 5 điểm đã cho để tạo được 1 mặt phẳng xác định. Vậy số mặt phẳng tạo được là 10. Chọn A.
Ta có $C_5^3$ cách chọn 3 điểm trong 5 điểm đã cho để tạo được 1 mặt phẳng xác định. Vậy số mặt phẳng tạo được là 10. Chọn A.
A. Ba điểm phân biệt.
B.Một điểm và một đường thẳng.
C.Hai đường thẳng cắt nhau.
D.Bốn điểm phân biệt.
Chọn C
* A sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.
* B sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.
* D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
* A sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.
* B sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.
* D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
D.Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các định của tứ giác ABCD.
A. 1.
B.2.
C.3.
D.0.
4 điểm A, B, C, D tạo thành 1 tứ giác, khi đó 4 điểm A, B, C, D đã đồng phẳng và tạo thành 1 mặt phẳng duy nhất là mặt phẳng ABC
D.Chọn A.
D.Chọn A.
A. Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng P và Q thì A, B, C thẳng hàng.
B.Nếu A, B, C thẳng hàng và P, Q có điểm chung là A thì B, C cũng là 2 điểm chung của P và Q.
C.Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng P và Q phân biệt thì A, B, C không thẳng hàng.
D.Nếu A, B, C thẳng hàng và A, B là 2 điểm chung của P và Q thì C cũng là điểm chung của P và Q.
Chọn D Hai mặt phẳng phân biệt không song song với nhau thì chúng có duy nhất một giao tuyến.
* A sai. Nếu P và Q trùng nhau thì 2 mặt phẳng có vô số điểm chung. Khi đó, chưa đủ điều kiện để kết luận A, B, C thẳng hàng.
* B sai. Có vô số đường thẳng đi qua A, khi đó B, C chưa chắc đã thuộc giao tuyến của P và Q.
* C sai. Hai mặt phẳng P và Q phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất, nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng thì A, B, C cùng thuộc giao tuyết.
* A sai. Nếu P và Q trùng nhau thì 2 mặt phẳng có vô số điểm chung. Khi đó, chưa đủ điều kiện để kết luận A, B, C thẳng hàng.
* B sai. Có vô số đường thẳng đi qua A, khi đó B, C chưa chắc đã thuộc giao tuyến của P và Q.
* C sai. Hai mặt phẳng P và Q phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất, nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng thì A, B, C cùng thuộc giao tuyết.
A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa.
B.Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
C.Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
D.Hai mặt phẳng cùng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó trùng nhau.
Nếu 2 mặt phẳng trùng nhau, khi đó 2 mặt phẳng có vô số điểm chung và chung nhau vô số đường thẳng. Chọn B
A. 3 đường thẳng trên đồng quy.
B.3 đường thẳng trên trùng nhau.
C.3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác.
D.Các khẳng định ở A, B, C đều sai.
Chọn A.
* B sai. Nếu 3 đường thẳng trùng nhau thì chúng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
* C sai. Nếu 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác khi đó sẽ tạo được 3 điểm phân biệt không thẳng hàng (là 3 đỉnh của tam giác), chúng lập thành 1 mặt phẳng xác định, 3 đường thẳng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
* B sai. Nếu 3 đường thẳng trùng nhau thì chúng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
* C sai. Nếu 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác khi đó sẽ tạo được 3 điểm phân biệt không thẳng hàng (là 3 đỉnh của tam giác), chúng lập thành 1 mặt phẳng xác định, 3 đường thẳng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
A. Tam giác.
B.Tứ giác.
C.Ngũ giác.
D.Tam giác hoặc tứ giác.
Khi thiết diện cắt 3 mặt của tứ diện thì sẽ tạo thành 3 giao tuyến. Ba giao tuyến lập thành 1 hình tam giác.
Khi thiết diện cắt cả 4 mặt của tứ diện thì sẽ tạo thành 4 giao tuyến. Bốn giao tuyến lập thành 1 hình tứ giác.
Thiết diện không thể là ngũ giác vì thiết diện có 4 mặt, số giao tuyến tối đa là 4. Chọn D
Vấn đề 2. TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang $ABCD{\rm{ }}\left( {AB\parallel CD} \right).$ Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.
B.Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$ là SO$(O$ là giao điểm của AC và $BD).$
C.Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là SI$(I$ là giao điểm của AD và $BC).$
D.Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$ là đường trung bình của ABCD.
* Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên: $\left( {SAB} \right),\;\left( {SBC} \right),\;\left( {SCD} \right),\;\left( {SAD} \right).$ Do đó A đúng.
* S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right).$
$\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow O \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O$ là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right).$
$ \to \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO.$ Do đó B đúng.
* Tương tự, ta có $\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SI.$ Do đó C đúng.
* $\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA$ mà $SA$ không phải là đường trung bình của hình thang ABC
D.Do đó D sai. Chọn D
D.Gọi G là trọng tâm của tam giác BC
D.Giao tuyến của mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right)$là:
A. $AM{\rm{ }}(M$là trung điểm của AB).
B.$AN{\rm{ }}(N$là trung điểm của CD).
C.$AH{\rm{ }}(H$là hình chiếu của B trên CD).
D.$AK{\rm{ }}(K$là hình chiếu của C trên BD).
* A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right).$
* Ta có $BG \cap CD = N \to \left\{ \begin{array}{l} N \in BG \subset \left( {ABG} \right) \Rightarrow N \in \left( {ABG} \right)\\ N \in CD \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow N \in \left( {ACD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow N$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right).$
Vậy $\left( {ABG} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AN.$ Chọn B
A. $\left( {BCD} \right)$ và $\left( {DEF} \right).$
B.$\left( {BCD} \right)$ và $\left( {ABC} \right).$
C.$\left( {BCD} \right)$ và $\left( {AEF} \right).$
D.$\left( {BCD} \right)$ và $\left( {ABD} \right).$
Điểm I là giao điểm của EF và BC mà $\left\{ \begin{array}{l}EF \subset \left( {DEF} \right)\\EF \subset \left( {ABC} \right)\\EF \subset \left( {AEF} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I = \left( {BCD} \right) \cap \left( {DEF} \right)\\I = \left( {BCD} \right) \cap \left( {ABC} \right)\\I = \left( {BCD} \right) \cap \left( {AEF} \right)\end{array} \right.\,.$
Chọn D
D.Gọi $M,{\rm{ }}N$ lần lượt là trung điểm của $AC,{\rm{ }}CD.$ Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {MBD} \right)$ và $\left( {ABN} \right)$ là:
A. đường thẳng MN.
B.đường thẳng AM.
C.đường thẳng $BG{\rm{ }}(G$ là trọng tâm tam giác $ACD).$
D.đường thẳng $AH{\rm{ }}(H$ là trực tâm tam giác $ACD).$
* B là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {MBD} \right)$ và $\left( {ABN} \right).$
* Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC,{\rm{ }}CD$ nên suy ra $AN,{\rm{ }}DM$ là hai trung tuyến của tam giác $ACD.$ Gọi $G = AN \cap DM$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}G \in AN \subset \left( {ABN} \right) \Rightarrow G \in \left( {ABN} \right)\\G \in DM \subset \left( {MBD} \right) \Rightarrow G \in \left( {MBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow G$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {MBD} \right)$ và $\left( {ABN} \right).$
Vậy $\left( {ABN} \right) \cap \left( {MBD} \right) = BG.$ Chọn C
C.Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SMN} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ là:
A. SD.
B.$SO{\rm{ }}(O$ là tâm hình bình hành $ABCD).$
C.$SG{\rm{ }}(G$ là trung điểm $AB).$
D.$SF{\rm{ }}(F$ là trung điểm $CD).$
* Slà điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {SMN} \right)$ và $\left( {SAC} \right).$
* Gọi $O = AC \cap BD$ là tâm của hình hình hành.
Trong mặt phẳng ABCD gọi $T = AC \cap MN$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)\\O \in MN \subset \left( {SMN} \right) \Rightarrow O \in \left( {SMN} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {SMN} \right)$ và $\left( {SAC} \right).$
Vậy $\left( {SMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SO.$ Chọn B
A. IJCD là hình thang.
B.$\left( {SAB} \right) \cap \left( {IBC} \right) = IB.$
C.$\left( {SBD} \right) \cap \left( {JCD} \right) = JD.$
D.$\left( {IAC} \right) \cap \left( {JBD} \right) = AO{\rm{ }}(O$ là tâm $ABCD).$
* Ta có IJ là đường trung bình của tam giác SAB $ \Rightarrow IJ\parallel AB\parallel CD \Rightarrow IJ\parallel CD$
$ \Rightarrow IJCD$ là hình thang. Do đó A đúng.
* Ta có $\left\{ \begin{array}{l}IB \subset \left( {SAB} \right)\\IB \subset \left( {IBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {IBC} \right) = IB.$ Do đó B đúng.
* Ta có $\left\{ \begin{array}{l}JD \subset \left( {SBD} \right)\\JD \subset \left( {JBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SBD} \right) \cap \left( {JBD} \right) = JD.$ Do đó C đúng.
* Trong mặt phẳng $\left( {IJCD} \right)$, gọi $M = IC \cap JD$$ \Rightarrow \left( {IAC} \right) \cap \left( {JBD} \right) = MO.$ Do đó D sai. Chọn D
A. $SI{\rm{ }}(I$ là giao điểm của AC và BM).
B.$SJ{\rm{ }}(J$ là giao điểm của AM và BD).
C.$SO{\rm{ }}(O$ là giao điểm của AC và BD).
D.$SP{\rm{ }}(P$ là giao điểm của AB và CD).
* S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {MSB} \right)$ và $\left( {SAC} \right).$
* Ta có $\left\{ \begin{array}{l}I \in BM \subset \left( {SBM} \right) \Rightarrow I \in \left( {SBM} \right)\\I \in \left( {AC} \right) \in \left( {SAC} \right) \Rightarrow I \in \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {MSB} \right)$ và $\left( {SAC} \right).$
Vậy $\left( {MSB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SI.$ Chọn A.
A. IK.
B.BC.
C.AK.
D.DK.
Điểm $K$ là trung điểm của BC suy ra $K \in \left( {IBC} \right)\,\, \Rightarrow \,\,IK \subset \left( {IBC} \right).$
Điểm I là trung điểm của AD suy ra $I \in \left( {KAD} \right)\,\, \Rightarrow \,\,IK \subset \left( {KAD} \right).$
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {IBC} \right)$ và $\left( {KAD} \right)$ là $IK.$ Chọn A.
D.Trên cạnh SB lấy điểm M. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {ADM} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$.
A. SI.
B.AE (E là giao điểm của DM và SI).
C.DM.
D.DE (E là giao điểm của DM và SI)
Ta có A là điểm chung thứ nhất của $\left( {ADM} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$, gọi $E = SI \cap DM$.
Ta có:
* $E \in SI$ mà $SI \subset \left( {SAC} \right)$ suy ra $E \in \left( {SAC} \right)$.
* $E \in DM$ mà $DM \subset \left( {ADM} \right)$ suy ra $E \in \left( {ADM} \right)$.
Do đó E là điểm chung thứ hai của $\left( {ADM} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$.
Vậy $AE$ là giao tuyến của $\left( {ADM} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$. Chọn B
A. KI.
B.KJ.
C.MI.
D.MH.
Trong mặt phẳng $\left( {BCD} \right),$ IJ cắt $CD$ tại $H\,\, \Rightarrow \,\,H \in \left( {ACD} \right).$
Điểm $H \in IJ$ suy ra bốn điểm $M,\,\,I,\,\,J,\,\,H$ đồng phẳng.
Nên trong mặt phẳng $\left( {IJM} \right)$, $MH$ cắt IJ tại H và $MH \subset \left( {IJM} \right).$
Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( {ACD} \right)\\H \in \left( {ACD} \right)\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,MH \subset \left( {ACD} \right).$ Vậy $\left( {ACD} \right) \cap \left( {IJM} \right) = MH.$ Chọn A.
Vấn đề 3. TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Câu 21. Cho bốn điểm $A,\,\,B,\,\,C,\,\,D$ không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và $BC.$ Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho $BP = 2PD.$ Giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ là giao điểm của
A. CD và NP.
B.CD và MN.
C.CD và MP.
D.CD và AP.
Cách 1. Xét mặt phẳng BCD chứa $CD\,.$
Do $NP$ không song song $CD$ nên $NP$ cắt $CD$ tại $E\,.$
Điểm $E \in NP\,\, \Rightarrow \,\,E \in \left( {MNP} \right).$ Vậy $CD \cap \left( {MNP} \right)$ tại $E.$ Chọn A.
Cách 2. Ta có $\left\{ \begin{array}{l}N \in BC\\P \in BD\end{array} \right. \Rightarrow NP \subset \left( {BCD} \right)$ suy ra $NP,\,\,CD$ đồng phẳng.
Gọi E là giao điểm của $NP$ và $CD$ mà $NP \subset \left( {MNP} \right)$ suy ra $CD \cap \left( {MNP} \right) = E\,.$
Vậy giao điểm của $CD$ và $mp\;\left( {MNP} \right)$ là giao điểm E của $NP$ và $CD\,.$
D.Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; G là trọng tâm tam giác BC
D.Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ là
A. điểm F.
B.giao điểm của đường thẳng EG và AF.
C.giao điểm của đường thẳng EG và AC.
D.giao điểm của đường thẳng EG và CD.
Vì G là trọng tâm tam giác $BCD,\,\,\,F$ là trung điểm của $CD$$ \Rightarrow \,\,\,G \in \left( {ABF} \right)\,.$
Ta có E là trung điểm của AB$ \Rightarrow \,\,\,E \in \left( {ABF} \right)\,.$
Gọi M là giao điểm của $EG$ và $AF$ mà $AF \subset \left( {ACD} \right)$ suy ra $M \in \left( {ACD} \right)\,.$
Vậy giao điểm của $EG$ và $mp\,\,\left( {ACD} \right)$ là giao điểm $M = EG \cap AF\,.$ Chọn B
A. $\overrightarrow {IA} = - \,2\overrightarrow {IM} .$
B.$\overrightarrow {IA} = - \,3\overrightarrow {IM} .$
C.$\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IM} .$
D.$IA = 2,5IM.$
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm của $AC\,.$
Nối AM cắt SO tại I mà $SO \subset \left( {SBD} \right)$ suy ra $I = AM \cap \left( {SBD} \right).$
Tam giác $SAC$ có $M,\,\,O$ lần lượt là trung điểm của $SC,\,\,AC.$
Mà $I = AM \cap SO$ suy ra I là trọng tâm tam giác $SAC\,\, \Rightarrow \,\,AI = \frac{2}{3}AM\,\, \Leftrightarrow \,\,IA = 2IM.$
Điểm I nằm giữa A và M suy ra $\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {MI} = - \,2\overrightarrow {IM} .$ Chọn A.
D.Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và
C.Giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$ là
A. giao điểm của SD và AB.
B.giao điểm của SD và AM.
C.giao điểm của SD và BK (với $K = SO \cap AM$).
D.giao điểm của SD và MK (với $K = SO \cap AM$).
* Chọn mặt phẳng phụ $\left( {SBD} \right)$ chứa $SD$.
* Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ và $\left( {ABM} \right)$.
Ta có B là điểm chung thứ nhất của $\left( {SBD} \right)$ và $\left( {ABM} \right)$.
Trong mặt phẳng ABCD, gọi $O = AC \cap BD$. Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$, gọi $K = AM \cap SO$. Ta có:
* ABCD mà 2a suy ra M.
* N mà AC suy ra BC.
Suy ra P là điểm chung thứ hai của BCD và $\left( {MNP} \right)$.
Do đó $\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{2}.$.
* Trong mặt phẳng $\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}.$, gọi $\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}.$. Ta có:
* $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$ mà BCD suy ra P.
* N.
Vậy B
C.Chọn C
D.Trên MND lấy điểm MND sao cho $MN = \frac{{AB}}{2} = a$ không song song với $DM = DN = \frac{{AD\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 $ (MND không trùng với các đầu mút). Gọi E là giao điểm của đường thẳng D với mặt phẳng H. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. E nằm ngoài đoạn BC về phía B.
B.E nằm ngoài đoạn BC về phía C.
C.E nằm trong đoạn BC.
D.E nằm trong đoạn BC và $E \ne B,{\rm{ }}E \ne C.$
* Chọn mặt phẳng phụ $\left( {ABC} \right)$ chứa BC.
* Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $DH \bot MN$ và ${S_{\Delta MND}} = \frac{1}{2}MN.DH = \frac{1}{2}MN.\sqrt {D{M^2} - M{H^2}} = \frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}$.
Ta có H là điểm chung thứ nhất của $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {IHK} \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$, do $IK$ không song song với AC nên gọi $F = IK \cap AC$. Ta có
* $F \in AC$ mà $AC \subset \left( {ABC} \right)$ suy ra $F \in \left( {ABC} \right)$.
* $F \in IK$ mà $IK \subset \left( {IHK} \right)$ suy ra $F \in \left( {IHK} \right)$.
Suy ra $F$ là điểm chung thứ hai của $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {IHK} \right)$.
Do đó $\left( {ABC} \right) \cap \left( {IHK} \right) = HF$.
* Trong mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$, gọi $E = HF \cap BC$. Ta có
* $E \in HF$ mà $HF \subset \left( {IHK} \right)$ suy ra $E \in \left( {IHK} \right)$.
* $E \in BC$.
Vậy $E = BC \cap \left( {IHK} \right)$. Chọn D
Vấn đề 4. THIẾT DIỆN
D.Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC, E là điểm trên cạnh CD với ED = 3E
C.Thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( {MNE} \right)$ và tứ diện ABCD là:
A. Tam giác MNE.
B.Tứ giác MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD.
C.Hình bình hành MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF//BC.
D.Hình thang MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF//BC.
Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,AC\,.$
Suy ra MNlà đường trung bình của tam giác ABC $ \Rightarrow \,\,MN$//$BC\,.$
Từ E kẻ đường thẳng d song song với BC và cắt BD tại $F\,\, \Rightarrow \,\,EF$//$BC.$
Do đó $MN$//EF suy ra bốn điểm $M,\,\,N,\,\,E,\,\,F$ đồng phẳng và $MNEF$ là hình thang.
Vậy hình thang $MNEF$ là thiết diện cần tìm. Chọn D
D.Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng $\left( {HKM} \right)$ là:
A. Tứ giác HKMN với $N \in AD$.
B.Hình thang HKMN với $N \in AD$ và $HK\parallel MN$.
C.Tam giác HKL với $L = KM \cap BD$.
D.Tam giác HKL với $L = HM \cap AD$.
Ta có $HK$, $KM$ là đoạn giao tuyến của $\left( {HKM} \right)$ với $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$, do $KM$ không song song với BD nên gọi $L = KM \cap BD$.
Vậy thiết diện là tam giác $HKL$. Chọn C
A. ${a^2}.$
B.$\frac{{{a^2}}}{2}.$
C.$\frac{{{a^2}}}{4}.$
D.$\frac{{{a^2}}}{{16}}.$
Gọi $Q$ là trung điểm của $SD\,.$
Tam giác $SAD$có $M,\,\,Q$ lần lượt là trung điểm của $SA,\,\,SD$ suy ra $MQ$//$AD\,.$
Tam giác $SBC$ có $N,\,\,P$ lần lượt là trung điểm của $SB,\,\,SC$ suy ra $NP$//$BC\,.$
Mặt khác AD//BC suy ra $MQ$//$NP$ và $MQ = NP\,\, \Rightarrow \,\,MNPQ$ là hình vuông.
Khi đó $M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q$ đồng phẳng $ \Rightarrow \,\,\left( {MNP} \right)$ cắt $SD$ tại $Q\,$ và $MNPQ$ là thiết diện của hình chóp S.ABCD với $mp\,\,\left( {MNP} \right).$
Vậy diện tích hình vuông $MNPQ$ là ${S_{MNPQ}} = \frac{{{S_{ABCD}}}}{4} = \frac{{{a^2}}}{4}.$ Chọn C
A. $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$
B.$\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}.$
C.$\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6}.$
D.$\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,BC$ suy ra $AN \cap MC = G.$
Dễ thấy mặt phẳng $\left( {GCD} \right)$ cắt đường thắng AB tại điểm $M.$
Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng $\left( {GCD} \right)$ và tứ diện $ABCD\,.$
Tam giác ABD đều, có M là trung điểm AB suy ra $MD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
Tam giác ABC đều, có M là trung điểm AB suy ra $MC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
Gọi H là trung điểm của $CD\,\, \Rightarrow \,\,MH \bot CD\,\, \Rightarrow \,\,{S_{\Delta MCD}} = \frac{1}{2}.MH.CD$
Với $MH = \sqrt {M{C^2} - H{C^2}} = \sqrt {M{C^2} - \frac{{C{D^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$
Vậy ${S_{\Delta MCD}} = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\,.$ Chọn B
D.Mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là:
A. $\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{2}.$
B.$\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}.$
C.$\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}.$
D.$\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$
Trong tam giác BCD có: P là trọng tâm, N là trung điểm B
C.Suy ra N, P, D thẳng hàng.
Vậy thiết diện là tam giác MND.
Xét tam giác MND, ta có $MN = \frac{{AB}}{2} = a$; $DM = DN = \frac{{AD\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 $.
Do đó tam giác MND cân tại D.
Gọi H là trung điểm MNsuy ra $DH \bot MN$.
Diện tích tam giác ${S_{\Delta MND}} = \frac{1}{2}MN.DH = \frac{1}{2}MN.\sqrt {D{M^2} - M{H^2}} = \frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}$. Chọn C
Vấn đề 5. BA ĐIỂM THẲNG HÀNG BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
Câu 31. Cho tứ diện ABC
D.Gọi $M,{\rm{ }}N$ lần lượt là trung điểm của AB và C
D.Mặt phẳng (α) qua MNcắt $AD,{\rm{ }}BC$ lần lượt tại P và Q. Biết MP cắt NQ tại I. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
A. $I,{\rm{ }}A,{\rm{ }}C.$
B.$I,{\rm{ }}B,{\rm{ }}D.$
C.$I,{\rm{ }}A,{\rm{ }}B.$
D.$I,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D.$
Ta có $\left( {ABD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BD$.
Lại có $\left\{ \begin{array}{l}I \in MP \subset \left( {ABD} \right)\\I \in NQ \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I$ thuộc giao tuyến của $\left( {ABD} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$
$ \Rightarrow I \in BD \Rightarrow I,{\rm{ }}B,{\rm{ }}D$ thẳng hàng. Chọn B
C.Gọi $L,{\rm{ }}M,{\rm{ }}N$ lần lượt là các điểm trên các cạnh $SA,{\rm{ }}SB$ và AC sao cho $LM$ không song song với AB, $LN$ không song song với S
C.Mặt phẳng $\left( {LMN} \right)$ cắt các cạnh $AB,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}SC$ lần lượt tại $K,{\rm{ }}I,{\rm{ }}J$. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
A. $K,{\rm{ }}I,{\rm{ }}J.$
B.$M,{\rm{ }}I,{\rm{ }}J.$
C.$N,{\rm{ }}I,{\rm{ }}J.$
D.$M,{\rm{ }}K,{\rm{ }}J.$
Ta có
* $M \in SB$ suy M là điểm chung của $\left( {LMN} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.
* I là điểm chung của $\left( {LMN} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.
* J là điểm chung của $\left( {LMN} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.
Vậy $M,{\rm{ }}I,{\rm{ }}J$ thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của $\left( {LMN} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$. Chọn B
D.Gọi G là trọng tâm tam giác $BCD,$ M là trung điểm $CD,$ I là điểm ở trên đoạn thẳng $AG,$ $BI$ cắt mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ tại $J.$ Khẳng định nào sau đây sai?
A. $AM = \left( {ACD} \right) \cap \left( {ABG} \right).$
B.$A,{\rm{ }}J,{\rm{ }}M$ thẳng hàng.
C.J là trung điểm của AM.
D.$DJ = \left( {ACD} \right) \cap \left( {BDJ} \right).$
Ta có A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right).$
Do $BG \cap CD = M \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in BG \subset \left( {ABG} \right) \Rightarrow M \in \left( {ABG} \right)\\M \in CD \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow M \in \left( {ACD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right).$
$ \Rightarrow \left( {ABG} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AM \to $A đúng.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BI \subset \left( {ABG} \right)\\AM \subset \left( {ABM} \right)\\\left( {ABG} \right) \equiv \left( {ABM} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AM,BI$ đồng phẳng.
$ \Rightarrow J = BI \cap AM \Rightarrow A,J,M$ thẳng hàng => B đúng.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} DJ \subset \left( {ACD} \right)\\ DJ \subset \left( {BDJ} \right) \end{array} \right. \Rightarrow DJ = \left( {ACD} \right) \cap \left( {BDJ} \right) \to $
D đúng.
Điểm I di động trên AG nên J có thể không phải là trung điểm của AM
=> C sai. Chọn C
D.Gọi $E,{\rm{ }}F,{\rm{ }}G$ là các điểm lần lượt thuộc các cạnh $AB,{\rm{ }}AC,{\rm{ }}BD$ sao cho EF cắt BC tại I, $EG$ cắt AD tại H. Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?
A. $CD,{\rm{ }}EF,{\rm{ }}EG.$
B.$CD,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}HF.$
C.$AB,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}HF$.
D.$AC,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}BD.$
Phương pháp: Để chứng minh ba đường thẳng ${d_1},{\rm{ }}{d_2},{\rm{ }}{d_3}$ đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và $\left( \beta \right)$; đồng thời ${d_3}$ là giao tuyến (α) và $\left( \beta \right)$.
Gọi $O = HF \cap IG$. Ta có
* $O \in HF$ mà $HF \subset \left( {ACD} \right)$ suy ra $O \in \left( {ACD} \right)$.
* $O \in IG$ mà $IG \subset \left( {BCD} \right)$ suy ra $O \in \left( {BCD} \right)$.
Do đó $O \in \left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right)$. $\left( 1 \right)$
Mà $\left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = CD$. $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra $O \in CD$.
Vậy ba đường thẳng $CD,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}HF$ đồng quy. Chọn B
A. Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đôi một song song.
B.Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đôi một cắt nhau.
C.Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đồng quy.
D.Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ cùng thuộc một mặt phẳng.
Gọi $I = AD \cap BC.$ Trong mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$, gọi $K = BM \cap SI$. Trong mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$, gọi $N = AK \cap SD$.
Khi đó N là giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $\left( {AMB} \right)$.
Gọi $O = AB \cap CD$. Ta có:
* $O \in AB$ mà $AB \subset \left( {AMB} \right)$ suy ra $O \in \left( {AMB} \right)$.
* $O \in CD$ mà $CD \subset \left( {SCD} \right)$ suy ra ${\rm{IJ}},MN,SE$.
Do đó $O \in \left( {AMB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$. $\left( 1 \right)$
Mà $\left( {AMB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = MN$. $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra $O \in MN$. Vậy ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đồng quy. Chọn C
Sửa lần cuối: