Công thức lượng giác là yếu tố quan trọng giúp hs giải toán lượng giác. Việc hệ thống các công thức lượng giác thành bảng, sắp xếp theo thứ tự từ căn bản tới nâng cao sẽ giúp học sinh hiểu nhanh, nhớ. Khi đó, học sinh sẽ giải được nhiều dạng toán lượng giác sau này
Do đó, với hai tia Ou, Ov có vô số góc lượng giác (một họ góc lượng giác) tia đầu Ou, tia cuối Ov. Mỗi góc lượng giác như thế đều được kí hiệu là (Ou, Ov). Như vậy:
2. Nếu một cung lượng giác UV có số đo α thì mọi cung lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với nó có số đo dạng α + 2kπ, k là một số nguyên, mỗi cung ứng với một giá trị của k.
Ta có các kết quả sau:
b. cos( - x) = cosx
c. tan( - x) = - tanx
d. cot( - x) = - cotx
b. cos(π - α) = cosα.
c. tan(π - α) = - tanα.
d. cot(π - α) = - cotα.
b. cos($\frac{\pi }{2}$ - α) = sinα.
c. tan($\frac{\pi }{2}$ - α) = cotα.
d. cot($\frac{\pi }{2}$ - α) = tanα.
b. tanα = $\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$
c. cotα = $\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$.
d. tanα.cotα = 1.
e. $\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ = 1 + tan$^2$α
f. $\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ = 1 + cot$^2$α.
b. cos(x - y) = cosx.cosy + sinx.siny.
c. sin(x + y) = sinx.cosy + cosx.siny.
d. sin(x - y) = sinx.cosy - cosx.siny.
e. tan(x + y) = $\frac{{\tan x + \tan y}}{{1 - tgx.tgy}}$.
f. tan(x - y) = $\frac{{\tan x - \tan y}}{{1 + \tan x.\tan y}}$.
b. cos2x = cos$^2$x - sin$^2$x = 2cos$^2$x - 1 = 1 - 2sin$^2$x.
c. tan2x = $\frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}$.
b. sin3x = 3sinx - 4sin$^3$x.
c. tan3x = $\frac{{(3 - \tan x)\tan x}}{{1 - 3{{\tan }^2}x}}$.
b. sinx.siny = $\frac{1}{2}$[cos(x - y) - cos(x + y)].
c. sinx.cosy = $\frac{1}{2}$[sin(x + y) + sin(x - y)].
d. cosx.siny = $\frac{1}{2}$[sin(x + y) - sin(x - y)].
b. cosx - cosy = - 2sin$\frac{{x + y}}{2}$sin$\frac{{x - y}}{2}$.
c. sinx + siny = 2sin$\frac{{x + y}}{2}$cos$\frac{{x - y}}{2}$.
d. sinx - siny = 2cos$\frac{{x + y}}{2}$sin$\frac{{x - y}}{2}$.
e. tanx ± tany = $\frac{{\sin (x \pm y)}}{{\cos x.\cos y}}$.
f. cotx ± coty = $\frac{{\sin (x \pm y)}}{{\sin x.\sin y}}$.
a. sin$^2$x = $\frac{{1 - \cos 2x}}{2}$.
b. cos$^2$x = $\frac{{1 + \cos 2x}}{2}$.
I. GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
1. ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ CUNG TRÒN, ĐỘ DÀI CỦA CUNG TRÒN
Với đường tròn bán kính R, ta có:- Toàn bộ đường tròn có số đo rađian bằng $\frac{{2\pi R}}{R}$ = 2π.
- Cung có độ dài bằng l thì có số đo rađian bằng $\frac{l}{R}$.
- Cung tròn bán kính R có số đo α rađian thì có độ dài αR.
- Với cung tròn có độ dài l. Gọi α là số đo rađian và a là số đo độ của cung đó thì ta thiết lập được mối quan hệ giữa số đo rađian và số đo độ là $\frac{\alpha }{\pi } = \frac{a}{{180}}$.
2. GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ SỐ ĐO CỦA CHÚNG
Định nghĩa: Cho hai tia Ou, Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói "Tia Om quét một góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov". Khi quay như thế, tia Om có thể gặp tia Ov nhiều lần, mõi lần ta được một góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov.Do đó, với hai tia Ou, Ov có vô số góc lượng giác (một họ góc lượng giác) tia đầu Ou, tia cuối Ov. Mỗi góc lượng giác như thế đều được kí hiệu là (Ou, Ov). Như vậy:
- Một góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo độ (hay số đo rađian) của nó.
- Nếu một góc lượng giác có số đo a$^0$ (hay α rad) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với nó có số đo dạng a$^0$ + k360$^0$ (hay α + 2kπ), k là một số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k.
- Cung lượng giác và số đo của chúng: Số đo của góc lượng giác (Ou, Ov) là số đo của cung UV tương ứng thì ta có kết quả:
2. Nếu một cung lượng giác UV có số đo α thì mọi cung lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với nó có số đo dạng α + 2kπ, k là một số nguyên, mỗi cung ứng với một giá trị của k.
- Hệ thức Sa - Lơ: Với ba tia Ou, Ov, Ow, ta có: sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + 2kπ, k ∈ $\mathbb{Z}$.
II. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC C ỦA MỘT CUNG
Điều quan trọng- cosα = cos(α + 2kπ).
- sinα = sin(α + 2kπ).
- tanα = tan(α + kπ).
- cotα = cot(α + kπ).
Ta có các kết quả sau:
2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT
3. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐỐI NHAU
a. sin( - x) = - sinxb. cos( - x) = cosx
c. tan( - x) = - tanx
d. cot( - x) = - cotx
4. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG BÙ NHAU
a. sin(π - α) = sinα.b. cos(π - α) = cosα.
c. tan(π - α) = - tanα.
d. cot(π - α) = - cotα.
5. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG PHỤ NHAU
a. sin($\frac{\pi }{2}$ - α) = cosα.b. cos($\frac{\pi }{2}$ - α) = sinα.
c. tan($\frac{\pi }{2}$ - α) = cotα.
d. cot($\frac{\pi }{2}$ - α) = tanα.
6. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
a. sin$^2$α + cos$^2$α = 1.b. tanα = $\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$
c. cotα = $\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$.
d. tanα.cotα = 1.
e. $\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ = 1 + tan$^2$α
f. $\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ = 1 + cot$^2$α.
III. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. CÔNG THỨC CỘNG
a. cos(x + y) = cosx.cosy - sinx.siny.b. cos(x - y) = cosx.cosy + sinx.siny.
c. sin(x + y) = sinx.cosy + cosx.siny.
d. sin(x - y) = sinx.cosy - cosx.siny.
e. tan(x + y) = $\frac{{\tan x + \tan y}}{{1 - tgx.tgy}}$.
f. tan(x - y) = $\frac{{\tan x - \tan y}}{{1 + \tan x.\tan y}}$.
2. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
a. sin2x = 2sinx.cosx.b. cos2x = cos$^2$x - sin$^2$x = 2cos$^2$x - 1 = 1 - 2sin$^2$x.
c. tan2x = $\frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}$.
3. CÔNG THỨC NHÂN BA
a. cos3x = 4cos$^3$x - 3cosx.b. sin3x = 3sinx - 4sin$^3$x.
c. tan3x = $\frac{{(3 - \tan x)\tan x}}{{1 - 3{{\tan }^2}x}}$.
4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
a. cosx.cosy = $\frac{1}{2}$[cos(x + y) + cos(x - y)].b. sinx.siny = $\frac{1}{2}$[cos(x - y) - cos(x + y)].
c. sinx.cosy = $\frac{1}{2}$[sin(x + y) + sin(x - y)].
d. cosx.siny = $\frac{1}{2}$[sin(x + y) - sin(x - y)].
5. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
a. cosx + cosy = 2cos$\frac{{x + y}}{2}$cos$\frac{{x - y}}{2}$.b. cosx - cosy = - 2sin$\frac{{x + y}}{2}$sin$\frac{{x - y}}{2}$.
c. sinx + siny = 2sin$\frac{{x + y}}{2}$cos$\frac{{x - y}}{2}$.
d. sinx - siny = 2cos$\frac{{x + y}}{2}$sin$\frac{{x - y}}{2}$.
e. tanx ± tany = $\frac{{\sin (x \pm y)}}{{\cos x.\cos y}}$.
f. cotx ± coty = $\frac{{\sin (x \pm y)}}{{\sin x.\sin y}}$.
5. CÔNG THỨC HẠ BẬC
Dưới đây là những công thức hạ bậc quan trọnga. sin$^2$x = $\frac{{1 - \cos 2x}}{2}$.
b. cos$^2$x = $\frac{{1 + \cos 2x}}{2}$.
Sửa lần cuối: