Bảng công thức logarit này gồm 14 công thức thường gặp. Các em học sinh cần nhớ và lưu lại để sau dùng
I. Bảng 14 công thức logarit
1. ${{\log }_{a}}1=0$
2. ${{\log }_{a}}a=1$
3. ${{\log }_{a}}{{a}^{m}}=m$
4. ${{a}^{{{\log }_{a}}n}}=n$
5. ${{\log }_{a}}({{n}_{1}}.{{n}_{2}})={{\log }_{a}}{{n}_{1}}+{{\log }_{a}}{{n}_{2}}$
6. ${{\log }_{a}}\left( \frac{{{n}_{1}}}{{{n}_{2}}} \right)={{\log }_{a}}{{n}_{1}}-{{\log }_{a}}{{n}_{2}}$
7. ${{\log }_{a}}{{N}^{\alpha }}=\alpha .{{\log }_{a}}N$
8. ${{\log }_{a}}{{N}^{2}}=2.{{\log }_{a}}\left| N \right|$
9. ${{\log }_{a}}N={{\log }_{a}}b.{{\log }_{b}}N$
10. ${{\log }_{a}}N=\frac{{{\log }_{a}}N}{{{\log }_{a}}b}$
11. ${{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{a}}b}$
12. ${{\log }_{{{a}^{\alpha }}}}N=\frac{1}{\alpha }.{{\log }_{a}}N$
13. ${{a}^{{{\log }_{b}}c}}={{c}^{{{\log }_{b}}a}}$
14. ${{\log }_{a}}x=\frac{{{\log }_{b}}x}{{{\log }_{b}}a}$
II. Ví dụ logarit
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số:
a) \(y = lo{g_2}\left( {5 - 2x} \right)\) ;
b) \(y =lo{g_3}({x^2} - 2x)\) ;
c) \(y=log_{\frac{1}{5}}\left ( x^{2} -4x+3 \right )\);
d) \(y= log_{0,4}\frac{3x+1}{1-x}\).
Lời giải
a) Hàm số \(y = lo{g_2}\left( {5 - 2x} \right)\) xác định khi và chỉ khi:$5- 2x > 0\Leftrightarrow x < \frac{5}{2}.$
Vậy hàm số \(y = lo{g_2}\left( {5 - 2x} \right)\) có tập xác định là \(D=\left( { - \infty ;{5 \over 2}} \right).\)
b) Hàm số \(y =lo{g_3}({x^2} - 2x)\) xác định khi và chỉ khi:
${x^2} - 2x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 2\\
x < 0
\end{array} \right.$
Vậy hàm số \(y =lo{g_3}({x^2} - 2x)\) có tập xác định là \(D=(-∞; 0) ∪ (2;+∞)\).
c) Hàm số \(y=log_{\frac{1}{5}}\left ( x^{2} -4x+3 \right )\) xác định khi và chỉ khi
${x^2} - 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 3\\
x < 1
\end{array} \right.$
Vậy hàm số \(y= log_{\frac{1}{5}}\left ( x^{2} -4x+3 \right )\) có tập xác định là \(D=(-∞; 1) ∪ (3;+∞)\).
d) Hàm số \(y= log_{0,4}\frac{3x+1}{1-x}\) xác định khi và chỉ khi:
$\frac{3x+2}{1-x} > 0\Leftrightarrow (3x+2) (1-x) > 0\Leftrightarrow-\frac{2}{3} < x <1.$
Vậy hàm số \(y = log_{0,4}\frac{3x+1}{1-x}\) có tập xác định là \(D=\left( { - {2 \over 3};1} \right)\).
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số:
a) \(y =3{x^2}-lnx + 4sinx\);
b) \(y = log({x^2} + x+1)\);
c) \(y= \frac{log_{3}x}{x}\).
Lời giải
a) \(y' = 6x - {1 \over x} + 4cosx\).b) \(y'= \frac{\left ( x^{2}+x+ 1 \right )^{'}}{\left ( x^{2}+ x+ 1 \right ).ln10}\) = \(\frac{2x+ 1}{\left ( x^{2}+ x+ 1 \right ).ln10}\).
c) \(y'= \frac{\left ( log_{3}x^{} \right )^{'}.x- log_{3}x.1}{x^{2}}\) = \(\frac{\frac{1}{x. ln3}.x-log_{3}x}{x^{2}}\) = \(\frac{1-ln3.log_{3}x}{x^{2}.ln3}\) = \(\frac{1-lnx}{x^{2}. ln3}\).