Cách 1: Điều kiện để một điểm M trên đường thẳng ∆ và nằm trên một đường Hypebol là:
$ - ABc{\rm{os}}\alpha \le $MA-MB$ \le ABc{\rm{os}}\alpha $;M dao động với biên độ cực đại nên $ - ABc{\rm{os}}\alpha \le k\lambda \le ABc{\rm{os}}\alpha $
=>$ - \frac{{10}}{3} \le k \le \frac{{10}}{3}$=> có 7 điểm $0; \pm 1; \pm 2; \pm 3$
Cách 2: –\(\frac{{AB}}{\lambda }\) ≤ k ≤ \(\frac{{AB}}{\lambda }\)Þ –6,6 ≤ k ≤ 6,6 Þ k = 0 , ±1, ±2,…, ±6.
Xét điềm M ở về một phía của AB và MA => MB. Đặt OH = x (hình chiếu của M trên AB)
MH = x\(\sqrt 3 \); MA – MB = \(\sqrt {{{(10 + x)}^2} + 3{x^2}} \)– \(\sqrt {{{(10 - x)}^2} + 3{x^2}} \)= k l = 3k
Cho k = 1, 2, 3 giải được x . Với k = 4, 5, 6, phương trình vô nghiệm.
Vậy ngoài điểm O, mỗi bên có 3 điểm nên tổng cộng là 7 điểm.
Cách 3:
Phương trình của D: tan60$^{0}$ = $\sqrt 3 $ $ \Rightarrow $ y = $\sqrt 3 .x$ $ \Rightarrow $ y$^{2}$ = 3.x$^{2}$ (1)
Phương trình của các hyperbol: |MA - MB| = kl = 3k = 2a $ \Rightarrow $ a = 1,5k
$ \Rightarrow $ a$^{2}$ = 2,25.k$^{2}$ ; c = $\frac{{AB}}{2} = 10$; b$^{2}$ = c$^{2}$ - a$^{2}$ = 100 - 2,25.k$^{2}$
$ \Rightarrow $ $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ $ \Rightarrow $ ${y^2} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2} - {b^2}$ (2)
pt (1) = pt (2) $ \Rightarrow $ $\frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2} - {b^2} = 3.{x^2}$hay $(\frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} - 3){x^2} = {b^2}$
.Điều kiện $\frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} - 3 \ge 0$hay ${b^2} \ge 3{a^2}$ hay 100 - 2,25k$^{2}$ $ \ge $ 3.2,25k$^{2}$
$ \Rightarrow $ $100 \ge 9{k^2}$ $ \Rightarrow $ $|k| \le \sqrt {\frac{{100}}{9}} \approx 3,33$ $ \Rightarrow $ k nhận
7 giá trị.
Tổng quát: Nếu D có pt là y = A.x thì |k| $ \le \frac{{AB}}{{\lambda \sqrt {{A^2} + 1} }}$
