Kiến thức cần nhớ
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\).
+ Cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình nếu nó là nghiệm chung của cả hai phương trình đó.
+ Hệ có thể có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm tùy theo vị trí tương đối của hai đường thẳng biểu diễn nghiệm của hai phương trình.
+ Phương pháp giải hệ: Chúng ta thường dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để khử bớt một ẩn, từ đó sẽ giải được hệ.
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Xác định các hệ số \(a,b\) của hàm số \(y = ax + b\) để:
1) Đồ thị của nó đi qua hai điểm \(A\left( {1;3} \right),B\left( {2;4} \right)\)
2) Đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 4\) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(2\).
Lời giải:
1) Thay tọa độ các điểm \(A,B\) vào phương trình của đường thẳng ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}3 = a + b\\4 = 2a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3 - a\\4 = 2a + 3 - a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3 - a = 2\end{array} \right.\).
Vậy \(a = 1,b = 2\).
2) Tương tự phần (1) ta có hệ:\(\left\{ \begin{array}{l} - 4 = a.0 + b\\0 = 2a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 4\\2a = - b + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 4\end{array} \right.\)
Vậy \(a = 2,b = - 4\).
Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3\\\frac{3}{x} - \frac{2}{y} = - 1\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{x + 1}} - \frac{y}{{y - 1}} = 3\\\frac{x}{{x + 1}} + \frac{{3y}}{{y - 1}} = - 1\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x - 1} + \frac{1}{{\sqrt {x - y} }} = 2\\2\sqrt {2x - 1} - \frac{1}{{\sqrt {x - y} }} = 1\end{array} \right.\)
Lời giải:
a) Đặt \(u = \frac{1}{x};v = \frac{1}{y}\).
Theo đề bài ra ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u + v = 3\\3u - 2v = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 3 - u\\3u - 2\left( {3 - u} \right) = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5u = 5\\v = 3 - u\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 2\end{array} \right.\\\end{array}\).
Từ đó suy ra: \(x = \frac{1}{u} = 1;\) \(y = \frac{1}{v} = \frac{1}{2}\).
b) Đặt \(u = \frac{x}{{x + 1}};v = \frac{y}{{y - 1}}\).
Theo bài ra ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}u - v = 3\\u + 3v = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 3 + v\\3 + v + 3v = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 3 + v\\4v = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = - 1\end{array} \right.\).
Từ đó suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{x + 1}} = 2\\\frac{y}{{y - 1}} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2x + 2\\y = 1 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
c). Điều kiện ${\rm{x}} \ge \frac{1}{2},x - y > 0$.
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt {2x - 1} \\b = \frac{1}{{\sqrt {x - y} }}\end{array} \right.\)
ta có hệ phương trình mới
\(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\2a - b = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x - 1} = 1\\\frac{1}{{\sqrt {x - y} }} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\).
Vậy hệ có nghiệm duy nhất \(x = 1;y = 0\)
Ví dụ 3. Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 5\\mx - y = 4\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array}\)
a) Giải hệ phương trình với \(m = 2\).
b) Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\) trong đó $x,y$ trái dấu.
c) Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn $x = \left| y \right|$.
Giải:
a) Với \(m = 2\) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 5\\2x - y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y + 5\\2\left( {2y + 5} \right) - y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y + 5\\3y = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 2\end{array} \right.$
b) Từ phương trình (1) ta có \(x = 2y + 5\).
Thay \(x = 2y + 5\) vào phương trình (2) ta được:\(m\left( {2y + 5} \right) - y = 4 \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).y = 4 - 5m\) (3)
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất.
Điều này tương đương với: \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{1}{2}\).
Từ đó ta được: \(y = \frac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}\) ; \(x = 5 + 2y = \frac{3}{{2m - 1}}\).
Ta có: \(x.y = \frac{{3\left( {4 - 5m} \right)}}{{{{\left( {2m - 1} \right)}^2}}}\).
Do đó \(x,y < 0 \Leftrightarrow 4 - 5m < 0 \Leftrightarrow m > \frac{4}{5}\) (thỏa mãn điều kiện)
c)Ta có: \(x = \left| y \right| \Leftrightarrow \frac{3}{{2m - 1}} = \left| {\frac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}} \right|\) (4)
Từ (4) suy ra \(2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}\).
Với điều kiện \(m > \frac{1}{2}\) ta có:
\(\left( 4 \right) \Leftrightarrow \left| {4 - 5m} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 - 5m = 3\\4 - 5m = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{1}{5}\left( l \right)\\m = \frac{7}{5}\end{array} \right.\).
Vậy \(m = \frac{7}{5}\).
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\).
+ Cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình nếu nó là nghiệm chung của cả hai phương trình đó.
+ Hệ có thể có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm tùy theo vị trí tương đối của hai đường thẳng biểu diễn nghiệm của hai phương trình.
+ Phương pháp giải hệ: Chúng ta thường dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để khử bớt một ẩn, từ đó sẽ giải được hệ.
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Xác định các hệ số \(a,b\) của hàm số \(y = ax + b\) để:
1) Đồ thị của nó đi qua hai điểm \(A\left( {1;3} \right),B\left( {2;4} \right)\)
2) Đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 4\) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(2\).
Lời giải:
1) Thay tọa độ các điểm \(A,B\) vào phương trình của đường thẳng ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}3 = a + b\\4 = 2a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3 - a\\4 = 2a + 3 - a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3 - a = 2\end{array} \right.\).
Vậy \(a = 1,b = 2\).
2) Tương tự phần (1) ta có hệ:\(\left\{ \begin{array}{l} - 4 = a.0 + b\\0 = 2a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 4\\2a = - b + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 4\end{array} \right.\)
Vậy \(a = 2,b = - 4\).
Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3\\\frac{3}{x} - \frac{2}{y} = - 1\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{x + 1}} - \frac{y}{{y - 1}} = 3\\\frac{x}{{x + 1}} + \frac{{3y}}{{y - 1}} = - 1\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x - 1} + \frac{1}{{\sqrt {x - y} }} = 2\\2\sqrt {2x - 1} - \frac{1}{{\sqrt {x - y} }} = 1\end{array} \right.\)
Lời giải:
a) Đặt \(u = \frac{1}{x};v = \frac{1}{y}\).
Theo đề bài ra ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u + v = 3\\3u - 2v = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 3 - u\\3u - 2\left( {3 - u} \right) = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5u = 5\\v = 3 - u\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 2\end{array} \right.\\\end{array}\).
Từ đó suy ra: \(x = \frac{1}{u} = 1;\) \(y = \frac{1}{v} = \frac{1}{2}\).
b) Đặt \(u = \frac{x}{{x + 1}};v = \frac{y}{{y - 1}}\).
Theo bài ra ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}u - v = 3\\u + 3v = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 3 + v\\3 + v + 3v = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 3 + v\\4v = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = - 1\end{array} \right.\).
Từ đó suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{x + 1}} = 2\\\frac{y}{{y - 1}} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2x + 2\\y = 1 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
c). Điều kiện ${\rm{x}} \ge \frac{1}{2},x - y > 0$.
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt {2x - 1} \\b = \frac{1}{{\sqrt {x - y} }}\end{array} \right.\)
ta có hệ phương trình mới
\(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\2a - b = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x - 1} = 1\\\frac{1}{{\sqrt {x - y} }} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\).
Vậy hệ có nghiệm duy nhất \(x = 1;y = 0\)
Ví dụ 3. Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 5\\mx - y = 4\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array}\)
a) Giải hệ phương trình với \(m = 2\).
b) Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\) trong đó $x,y$ trái dấu.
c) Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn $x = \left| y \right|$.
Giải:
a) Với \(m = 2\) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 5\\2x - y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y + 5\\2\left( {2y + 5} \right) - y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y + 5\\3y = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 2\end{array} \right.$
b) Từ phương trình (1) ta có \(x = 2y + 5\).
Thay \(x = 2y + 5\) vào phương trình (2) ta được:\(m\left( {2y + 5} \right) - y = 4 \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).y = 4 - 5m\) (3)
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất.
Điều này tương đương với: \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{1}{2}\).
Từ đó ta được: \(y = \frac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}\) ; \(x = 5 + 2y = \frac{3}{{2m - 1}}\).
Ta có: \(x.y = \frac{{3\left( {4 - 5m} \right)}}{{{{\left( {2m - 1} \right)}^2}}}\).
Do đó \(x,y < 0 \Leftrightarrow 4 - 5m < 0 \Leftrightarrow m > \frac{4}{5}\) (thỏa mãn điều kiện)
c)Ta có: \(x = \left| y \right| \Leftrightarrow \frac{3}{{2m - 1}} = \left| {\frac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}} \right|\) (4)
Từ (4) suy ra \(2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}\).
Với điều kiện \(m > \frac{1}{2}\) ta có:
\(\left( 4 \right) \Leftrightarrow \left| {4 - 5m} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 - 5m = 3\\4 - 5m = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{1}{5}\left( l \right)\\m = \frac{7}{5}\end{array} \right.\).
Vậy \(m = \frac{7}{5}\).
Sửa lần cuối: