Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số có thể đạt được. Giới thiệu tới bạn 11 dạng bài cực trị hàm số được trình bày công phu: cơ sở lý thuyết; phương pháp; ví dụ minh họa; bài tập vận dụng; ... Hy vọng bài viết này hữu ích với các em.
Dạng 1: Tìm m để hàm số có cực đại hoặc cực tiểu hoặc có cực đại và cực tiểu
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a,b) , x0 là một điểm thuộc (a;b). Nếu y’ đổi dấu khi đi qua x0 thì ta nói: Hàm số f đạt cực trị tại điểm x0
Nếu y’ đổi dấu từ - sang + thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0. Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số và kí hiệu là fCT = f(x0).Điểm M(x0; f(x0)) được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = f(x).
Nếu y’ đổi dấu từ + sang - thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0. Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số và kí hiệu là fCĐ = f(x0). Điểm M(x0; f(x0)) được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = f(x).
Có thể dùng y’’ để xác định cực đại , cực tiểu của hàm số :
Hàm số đạt cực đại tại điểm x0⇔y′(x0)<0
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0⇔y′(x0)>0
Nếu dấu của y’ mà phụ thuộc vào dấu của một tam thức bậc hai thì ĐK để hàm số có cực trị hoặc điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu là tam thức bậc hai đó có hai nghiệm phân biệt vì nếu một tam thức bậc hai đã có hai nghiệm phân biệt thì hiển nhiên tam thức đó sẽ đổi dấu hai lần khi đi qua các nghiệm.
Dạng 2: Tìm m để hàm số có một điểm cực trị, 3 điểm cực trị ( hàm bậc 4 ) hoặc không có cực trị
Số lần đổi dấu của y’ khi đi qua nghiệm của nó đúng bằng số cực trị của hàm số y = f(x).
Cách giải dạng bài tập: Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị: Tính y’ và biện luận số nghiệm của phương trình y’ = 0, nếu phương trình y’ = 0 nhận được là hàm bậc 3 ta có thể sử dụng các điều kiện để phương trình bậc ba có ba nghiệm phân biệt .
Cách 1: Nếu nhẩm được 1 nghiệm của pt thì pt b3 phân tích được thành tích của một nhân tử bậc nhất với một nhân tử bậc 2 thì biện luận cho nhân tử bậc hai có 2 nghiệm phân biệt khác nghiệm của nhân tử bậc nhất
Cách 2: Nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng tương giao giữa đồ thị hàm bậc 3 với trục Ox để tìm đk cho pt bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt.
Cách giải dạng bài tập: Tìm m để hàm số có 1 điểm cực trị: Nếu pt y’= 0 nhận được là pt bậc nhất hoặc bậc 2 thì đơn giản , ta chỉ xét TH pt nhận được là pt bậc 3 đầy đủ
Cách 1: Nếu nhẩm được 1 nghiệm của pt thì pt b3 phân tích được thành tích của một nhân tử bậc nhất với một nhân tử bậc 2 thì biện luận cho nhân tử bậc hai có nghiệm kép trùng với nghiệm của nhân tử bậc nhất.
Cách 2 : Nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng tương giao giữa đồ thị hàm bậc 3 với trục Ox để tìm đk cho pt bậc 3 có 1 nghiệm duy nhất ( chú ý 2 trường hợp ).
Cách giải dạng bài tập: Tìm m để hàm số không có cực trị: ta chỉ việc biện luận cho pt y’= 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm nhưng không đổi dấu qua nghiệm ( tức là trường hợp y’ = 0 có nghiệm bội chẵn )
Dạng 3: Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu sao cho hoành độ các điểm cực trị thoả mãn một yêu cầu nào đó của bài toán
Khi đó
Tính y’ và tìm đk để y’ = 0 có nghiệm sao cho tồn tại cực đại, cực tiểu của hàm số
Giả sử x1, x2 là các nghiệm của pt y’ = 0 theo Vi – ét ta có: x1+x2=−b/a
Kết hợp định lý Vi - ét với yêu cầu về hoành độ của bài toán và đk tìm được ở bước thứ nhất để tìm ra đk của tham số.
Dạng 4: Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu sao cho tung độ các điểm cực trị thoả mãn một yêu cầu nào đó của bài toán
Tính y’ và tìm đk để y’ = 0 có nghiệm sao cho tồn tại cực đại, cực tiểu của hàm số
Giả sử x1, x2 là các nghiệm của pt y’ = 0 theo Vi – ét ta có: x1.x2=c/a
Tìm mối liên hệ giữa tung độ điểm cực trị với hoành độ tương ứng của nó bằng cách:
Nếu y = f(x) là hàm đa thức thì ta lấy y chia cho y’ được phần dư là R(x), khi đó ycực trị =R(xcực trị) .
Nếu y=u(x)v(x) và (x0,y0) là điểm cực trị thì : y0=u(x0)v(x0)=u′(x0)v′(x0).
* Kết hợp định lý Vi- ét với yêu cầu về tung độ của bài toán và đk tìm được ở bước thứ nhất để tìm ra đk của tham số .
Dạng 5: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại điểm x0 và tại đó là điểm cực đại hay cực tiểu
Cách 1:
Tìm điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 : y’(x0) = 0
Kiểm tra điều kiện đủ: Lập bảng xét dấu của y’ xem có đúng với giá trị tìm được của tham số thì hàm số có đạt cực trị tại xo hay không. Từ bảng này cũng cho biết tại x0 hàm số đạt cực đại hay cực tiểu.
Cách 2:
Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị tại x0 là y′(x0)≠0 sau đó dựa vào dấu của y’’ để nhận biết x0 là cực đại hay cực tiểu.
Chú ý :
Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực đại tại x0 là: y′(x0)<0
Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực tiểu tại x0 là: y′(x0)>0
Dạng 6: Tìm quỹ tích của điểm cực trị
Thông thường cách giải tương tự như việc tính nhanh ycực trị
Dạng 7: Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số và đường thẳng đó thoả mãn một số yêu cầu nào đó
Ta biết:
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y= f(x)
b) Tìm m đề đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (đồ thị hàm số) thoả mãn một số yêu cầu cho trước :
Tìm m để hàm số có cực trị.
Lập pt đường thẳng đi qua các điểm cực trị.
Cho đường thẳng vừa lập thoả mãn yêu cầu đề bài.
Đối chiếu , kết kợp tất cả các đk kiện của tham số rút ra kết luận.
c) Chứng minh rằng với mọi m , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn đi qua một ( hoặc nhiều ) điểm cố định.
CM rằng với mọi m hàm số luôn có cực trị .
Lập pt đường thẳng (dm) đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số ( còn chứa tham số )
Tìm điểm cố định mà với mọi m thì đường thẳng (dm) luôn đi qua( đã có thuật toán).
Kết luận.
d) Chứng minh rằng các điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn nằm trên một đường thẳng cố định ( chỉ việc tìm đt đi qua các điểm cực trị , thấy các yếu tố của đt này cố định từ đó rút ra kết luận)
e) Chú ý: Đối với hàm bậc 4 không những có khái niệm đường thẳng đi qua các điểm cực trị mà còn có thể có khái niệm Parabol đi qua các điểm cực trị ( khi phần dư của phép chia y( có bậc 4) cho y’( có bậc 3) có bậc là 2 ).Khi đó cũng có thể có các câu hỏi tương tự như trên đối với Parabol này
Dạng 8: Vị trí của các điểm cực trị đối với các trục toạ độ
1. Vị trí của các điểm cực trị của hàm b2b1 đối với hệ trục Oxy.
Bài tập 1: Tìm m để đồ thị hàm số có một điểm cực trị nằm ở góc phần tư thứ (I) , một điểm cực trị nằm ở góc phần tư thứ (III).
Bài tập 2: Tìm m để đồ thị hàm số có một điểm cực trị nằm ở góc phần tư thứ (II) , một điểm cực trị nằm ở góc phần tư thứ (IV). Phương pháp giải :
+ Điều kiện 1 : y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 trái dấu.
+ Điều kiện 2 : Đồ thị hàm số không cắt Ox ( phương trình y = 0 vô nghiệm)
+ Điều kiện 3:
Với Bài tập 1: a(m) > 0
Với Bài tập 2: a(m) < 0
( Trong đó a(m) là hệ số chứa m của tam thức bậc 2 của tử số của y’)
Chú ý: Đối với những bài toán mà yêu cầu phải giải một hệ đk để có kết quả , ta thường giải một số đk đơn giản trước rồi kết hợp chúng với nhau xem sao , đôi khi kết quả thu được là sư vô lý thì không cần giải thêm các đk khác nữa.
2.Vị trí của các điểm cực trị của hàm y=a.x3+bx2+cx+d(a≠0) đối với hệ toạ độ Oxy.
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho cực đại, cực tiểu nằm về một phía Oy
b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho cực đại, cực tiểu nằm về hai phía Oy.
c) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho cực đại, cực tiểu cách đều Oy.
d) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho cực đại, cực tiểu nằm về một phía Ox.
e) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho cực đại, cực tiểu nằm về hai phía Ox.
f) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho cực đại, cực tiểu cách đều Ox. Phương pháp giải
Bước 1 : Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu: y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
Bước 2 : Các điều kiện
a) cực đại, cực tiểu nằm về một phía Oy ⇔x1.x2>0
b) cực đại, cực tiểu nằm về hai phía Oy ⇔x1.x2<0
c) cực đại, cực tiểu cách đều Oy
Điều kiện cần: xuốn = 0 ( điểm uốn thuộc trục Oy) => giá trị của tham số.
Điều kiện đủ: Thay giá trị tìm được của tham số vào và thử lại.
Kết luận về giá trị “ hợp lệ” của tham số.
d)cực đại, cực tiểu nằm về một phía Ox ⇔y1.y2>0
e) cực đại, cực tiểu nằm về hai phía Ox ⇔y1.y2<0
f) cực đại, cực tiểu cách đều Ox :
Điều kiện cần: yuốn = 0 ( điểm uốn thuộc trục Ox) giá trị của tham số.
Điều kiện đủ: Thay giá trị tìm được của tham số vào và thử lại.
Kết luận về giá trị “ hợp lệ” của tham số.
Chú ý: Có thể kết hợp các đk ở bước 1 và bước 2 để đk trở nên đơn giản , gọn nhẹ, chẳng hạn như câu: “Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho cực đại, cực tiểu nằm về một phía Oy “ có thể gộp hai đk trở thành : Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt dương....
Dạng 9: Vị trí của điểm cực trị đối với đường thẳng cho trước ( cách đều , nằm về một phía , nằm về hai phía, đối xứng nhau qua đường thẳng ...)
Vị trí của các điểm cực trị của hàm số y = f(x, m) (Cm) đối với đường thẳng (d) : Ax + By +C =0 cho trước. a) Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu thuộc hai phía của (d)
B1: Xét y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thuộc TXĐ.
B2: Giả sử A(x1,y1) , B(x2,y2) là toạ độ của các điểm cực trị khi đó A, B thuộc hai phía của (d) ⇔(A.x1+B.y1+C)(A.x2+B.y2+C)<0. ( ở bước này nếu không xác định được toạ độ cụ thể của A , B người ta có thể dựa và mối liên hệ giữa y1 và x1 , giữa y2 với x2 và sử dụng Vi- et đối với PT y ‘ = 0)
B3 : Đối chiếu các đk và kết luận
b) Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu thuộc cùng phía với (d)
B1: Xét y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thuộc TXĐ.
B2: Giả sử A(x1,y1) , B(x2,y2) là toạ độ của các điểm cực trị khi đó A, B thuộc cùng phía với (d) ⇔(A.x1+B.y1+C)(A.x2+B.y2+C)>0.
B3 : Đối chiếu các đk và kết luận.
c) Tìm m để cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng (d).
B1: Xét y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thuộc TXĐ.
B2:
Cách 1: Giả sử A(x1,y1) , B(x2,y2) là toạ độ của các điểm cực trị khi đó ta giải đk về khoảng cách tìm ra đk của tham số
Cách 2:
Điều kiện cần : Điểm uốn (với hàm bậc 3) hoặc giao điểm 2 tiệm cận ( với hàm b2b1) thuộc (d)
Điều kiện đủ: Thay m vào và kiểm tra lại .
d) Tìm m để cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (d).
B1: Như trên.
B2: Như trên.
B3: Cho AB vuông góc với d ( có thể dùng hệ số góc , cũng có thể dùng véc tơ pháp tuyến)
Dạng 10: Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều , tam giác vuông cân.( đối với hàm bậc 4 trùng phương )
Phương pháp chung :
Bước 1 : Tìm điều kiện để hàm số có ba cực trị
Bước 2 : Gọi A(x1,y1) , B(x2,y2), C (x3,y3) là tọa độ các điểm cực trị trong đó B là điểm nằm trên Oy.
Dạng 11: Tìm m để đồ thị hàm số bậc 4 có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận điểm G cho trước làm trọng tâm
Phương pháp chung:
Tìm đk để hàm số có ba điểm cực trị , giả sử A(x1,y1) , B(x2,y2), C (x3,y3) là tọa độ các điểm cực trị
Theo giả thiết G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:
x1+x2+x3=3x0(1)
y1+y2+y3=3y0(2)
x1,x2,x3 là nghiệm của y’ = 0 nên theo Vi- ét ta có:
x1 +x2 + x3 = - b/a (3)
x1x2+x2x3+x3x1 = c/a (4)
x1x2x3=−d/a (5)
Từ phương trình (2) kết hợp với mối liên hệ đặc biệt giữa x1,x2,x3 và y1,y2,y3 ta tìm thêm được mối liên hệ giữa x1,x2,x3. Kết hợp các phương trình, giải hệ tìm được giá trị của tham số, đối chiếu với các điều kiện và kết luận.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số giá trị cực đại bằng 3
B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 2
C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 1
D. Hàm số có giá trị cực đại bằng -1
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy
Hàm số đạt cực đại tại x=1 và giá trị cực đại bằng 2.
Vậy B là phương án cần tìm.
Câu 2:
Hàm số f(x) có đạo hàm \(f'(x) = {x^2}{(x + 1)^2}\). Số cực trị của hàm số là
A. 1
B. 2
C. 0
D. 3
Câu 3:
Hàm số f(x) có đạo hàm \(f'(x) = {x^2}{(x + 1)^2}(x + 2).\) Phát biểu nào sau đây là đúng
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = -2
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = -2, x = 0. Hàm số đạt cực đại tại x = - 1
C. Hàm số đạt cực đại tại x = -2, x = 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x =-1
D. Hàm số không có cực trị.
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = - 2 \end{array} \right.\)
\(f'(x)\) chỉ đổi dâu một lần ta điểm có hoành độ -2.
Câu 4:
Giá trị cực đại của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\) là:
A. -1
B. 1
C. 0
D. 4
\(y' = 3{x^2} - 3\\ y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
Vậy hàm số đạt cực đại tại x=-1, yCĐ = 4
Câu 5:
Cho hàm số có bảng biến thiên dưới đây. Phát biểu nào là đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và đạt cực đại tại x = 3
B. Giá trị cực tiểu của hàm số là 0
C. Giá trị cực đại của hàm số là -2
D. Hàm số đạt cực đại tại x = -2 và đạt cực tiểu tại x = 0
Chọn D.
Câu 6:
Điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^4} - 2{x^2} - 3\) là:
A. (0;-3)
B. 0
C. \((\sqrt{-2};-5);(\sqrt{2};-5)\)
D. -3
\(y' = 2{x^3} - 4x\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - \sqrt 2 \\ x = \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Hàm số đạt cực đại tại x=0, yCĐ = -3
Vậy điểm cực đại là (0;-3)
Câu 7:
Cho hàm số \(y = (x - 5)\sqrt[3]{{{x^2}}}\). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 0
B. Hàm số đạt cực đại tại x = 1
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 2
D. Hàm số không có cực đại
Vậy hàm số đạt cực đại tại x=0, đạt cực tiểu tại x=2.
Câu 8:
Số điểm cực trị của hàm số \(y = - \frac{1}{3}{x^3} - x + 7\) là ?
A. 1
B. 0
C. 3
D. 2
Ta tính đạo hàm của hàm số được \(y' = - {x^2} - 1\) nhận thấy phương trình \(y' = 0\) vô nghiệm, nên đáp án đúng là B, hàm số không có cực trị.
Câu 9:
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = m{x^4} + \left( {m - 1} \right){x^2} + 1 - 2m\) có đúng một cực trị.
A. \(m \ge 1\)
B. \(m \le 0\)
C. \(0 \le m \le 1\)
D. \(m \le 0 \vee m \ge 1\)
\(y = m{x^4} + \left( {m - 1} \right){x^2} + 1 - 2m \Rightarrow y' = 4m{x^3} + 2\left( {m - 1} \right)x = 2x\left( {2m{x^2} + m - 1} \right)\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 2m{x^2} + m - 1 = 0\,\left( 2 \right) \end{array} \right.\)
Hàm số chỉ có một cực trị \(\Leftrightarrow \left( 2 \right)\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
\(\Leftrightarrow \Delta \le 0 \Leftrightarrow - 2m\left( {m - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow m \le 0 \vee m \ge 1\)
Câu 10:
Tìm giá trị của m để hàm số \(y = {x^3} - 3m{{\rm{x}}^2} + \left( {2m + 1} \right)x - 2\) đạt cực trị tại x = 1.
A. m=1
B. m=-1
C. m=2
D. Không tồn tại m.
Đối với hàm đa thức, điều kiện cần để hàm số đạt cực trị là: \(y' = 0\). Do đó ta có:
\(y' = 3{x^2} - 6mx + \left( {2m + 1} \right)\)
\(y'\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow 3 - 6m + 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\)
Thử lại với m=1 ta có: \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 2\)
\(\Rightarrow y' = 3{\left( {x - 1} \right)^2}\) không đổi dấu khi qua điểm 1 nên 1 không là cực trị của hàm số. Vậy đáp án của bài toán này là không tồn tại m và đáp án đúng là D.
Câu 11:
Cho hàm số \(y = \left| x \right|\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 nên không đạt cực tiểu tại x=0.
B. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại x=0.
C. Hàm số có đạo hàm tại x=0 nên đạt cực tiểu tại x=0.
D. Hàm số có đạo hàm tại x=0 nhưng không đạt cực tiểu tại x=0.
Ta có: \(y = \left| x \right| = \sqrt {{x^2}}\)
Ta có: \(y' = \sqrt {{x^2}} = \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2}} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2}} }}\) => Hàm số không có đạo hàm tại x=0.
Hàm số này không có đạo hàm tại x=0.
Tuy nhiên ta thấy hàm số vẫn đạt cực tiểu tại x=0.
Nên đáp án B đúng.
Câu 12:
Tìm giá trị cực đại yCĐ của hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 2\).
A. yCĐ=2
B. yCĐ=1
C. yCĐ=-1
D. yCĐ=0
\(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 4x = 4x({x^2} - 1)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\)
Hàm số đạt cực đại tại x=0, giá trị cực đại yCĐ=2.
Câu 13:
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - 1\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. \(\forall m < 1\) thì hàm số có hai cực trị
B. Hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu.
C. \(\forall m \ne 1\) thì hàm số có cực đại và cực tiểu.
D. \(\forall m > 1\) thì hàm số có cực trị.
Vì đây là bài toán xét tính đúng sai của mệnh đề nên ta cần đi xem xét từng mệnh đề một. Vì đây là bài toán về cực trị nên trước tiên ta đi tìm đạo hàm của hàm số sau đó xét phương trình y'=0 để tìm kết luận cho bài toán.
\(y' = {x^2} + 2mx + 2m - 1\).
Xét phương trình y'=0, ta cùng nhớ lại bảng các dạng đồ thị của hàm số bậc ba ở trang 35 sách giáo khoa cơ bản. Nhận thấy ở tất cả các mệnh đề đều nói là hàm số có cực trị, nghĩa là trước tiên ta cần đi tìm điều kiện để hàm số có cực trị là điều kiện chung. Để đồ thị hàm số bậc ba có cực trị thì phương trình y'=0 phải có hai nghiệm phân biệt. Khi đó: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m \ne 1\). Từ đây ta thấy mệnh đề C đúng, cả A và D cũng đúng. Vậy mệnh đề sai là B.
Câu 14:
Đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 6{x^2} - 13x + 6\) có mấy điểm cực trị?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Đây là hàm số bậc ba, vậy để tìm được số điểm cực trị của đồ thị hàm số ta chỉ cần xét số nghiệm của phương trình \(y' = 0\)
Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 12x - 13 = 0\,\left( {VN} \right)\).
Vậy đồ thị hàm số không có điểm cực trị.
Câu 15:
Với giá trị nào của thì đường thẳng \(y = x + m\) đi qua trung điểm của đoạn nối 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\)?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Yêu cầu của bài toán là tìm m để đường thẳng \(y = x + m\) đi qua trung điểm 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\), thì ta đi tìm 2 điểm cực trị rồi từ đó suy ra tọa độ trung điểm, thay vào phương trình của đường thẳng đã cho rồi ta tìm được m.
\(y' = 3{x^2} - 12x + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3}\\ {x = 1} \end{array}} \right. \Rightarrow\)hoành độ trung điểm của 2 điểm cực trị là x0=2
\(\Rightarrow M\left( {2;2} \right)\) là trung điểm của 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba đã cho.
Thay vào phương trình đường thẳng ta được \(2 = 2 + m \Leftrightarrow m = 0\).
Câu 16:
Tìm giá trị cực đại yCĐ của hàm số \(y = \frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} + 6\).
A. yCĐ=2
B. yCĐ=6
C. yCĐ \(\in \left\{ {2;6} \right\}\)
D. yCĐ=0
Hàm số xác định với mọi \(x\in R\). Ta có:
\(y' = {x^3} - 4x = x\left( {{x^2} - 4} \right)\)
\(y'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 0;{x_2} = 2;{x_3} = - 2\)
\(y'' = 3{x^2} - 4\)
\(y''\left( { \pm 2} \right) = 8 > 0\) nên x=-2 và x=2 là hai điểm cực tiểu.
\(y''\left( 0 \right) = - 4 < 0\) nên x=0 là điểm cực đại.
Kết luận: hàm số đạt cực đại tại xCĐ=0 và yCĐ=6. Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Câu 17:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 1} \right){\left( {2x - 1} \right)^3}\). Hỏi hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 4
B. 3
C. 1
D. 2
Vậy hàm số có 2 điểm cực trị tại x=0 và x=1.
Câu 18:
Cho hàm số \(y= {x^3} + 3{x^2} + mx + m - 2\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
A. \(m \le 0\)
B. \(m < 3\)
C. \(m \ge 0\)
D. \(m < 0\)
Ta có: \(y' = 3{x^2} + 6x + m\).
Để hàm số có hai cực trị nằm về 2 phiá trục tung thì phương trình y'=0 phải có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.
Điều này xảy ra khi: \({x_1}.{x_2} < 0 \Rightarrow \frac{m}{3} < 0 \Leftrightarrow m < 0\).
Câu 19:
Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = - {x^3} + \left( {m + 3} \right){x^2} - \left( {{m^2} + 2m} \right)x - 2\) đạt cực đại tại x=2
A. \(m \in \left\{ {0;2} \right\}\)
B. \(m \in \left\{ {1;2} \right\}\)
C. \(m \in \left\{ {0;3} \right\}\)
D. \(m \in \left\{ {5;2} \right\}\)
TXĐ: D =R
\(y' = - 3{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x - \left( {{m^2} + 2m} \right);y'' = - 6x + 2\left( {m + 3} \right)\)
Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y'\left( 2 \right) = 0\\ y''\left( 2 \right) < 0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 12 + 4\left( {m + 3} \right) - {m^2} - 2m = 0\\ - 12 + 2m + 6 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 2m = 0\\ m < 3 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 2 \end{array} \right.\).
Thử lại:
m=0 ta có:
m=2 thỏa yêu cầu bài toán.
Kết luận : Giá trị m cần tìm là m=2
Chọn đáp án A.
Câu 20:
Tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 5{x^2} + 7x - 3\).
A. \(\left( {\frac{7}{3};\frac{{32}}{{27}}} \right)\)
B. \(\left( {\frac{7}{3};\frac{{ - 32}}{{27}}} \right)\)
C. \(\left( {1;0} \right)\)
D. \(\left( {0; - 3} \right)\)
Ta có \(y' = 3{x^2} - 10x + 7\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{7}{3} \Rightarrow y = - \frac{{32}}{{27}}\\ x = 1 \Rightarrow y = 0 \end{array} \right.\)
Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{7}{3}\), giá trị cực đại \(y = \frac{{ - 32}}{{27}}\).
Câu 21:
Cho hàm số \(y = m{x^4} - (m - 1){x^2} - 2\). Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị.
A. \(m \in \left[ {1; + \infty } \right)\)
B. \(m \in \left( {0;1} \right)\)
C. \(m \in \left( {0; + \infty } \right)\)
D. \(m \in ( - \infty ;0) \cup (1; + \infty )\)
Xét hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c \left ( a\ne0 \right )\)
\(y' = 4a{x^3} + 2bx\)
\(y'= 0 \Leftrightarrow 2x(2a{x^2} + b) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = - \frac{b}{{2a}}(*) \end{array} \right.\)
Hàm số có 3 điểm cực trị khi phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt.
Để phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0, điều này xảy ra khi \(\frac{b}{{2a}} < 0\).
Áp dụng vào bài toán, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \frac{{ - \left( {m - 1} \right)}}{m} < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \left[ \begin{array}{l} m > 1\\ m < 0 \end{array} \right. \end{array} \right.\)
Câu 22:
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số, chọn câu khẳng định ĐÚNG ?
A. Hàm số có 2 cực trị
B. Hàm số có 1 cực trị
C. Hàm số không có cực trị
D. Hàm số không xác định tại x=3
Dựa vào BBT ta thấy hàm số xác định tại x = 3 và y’đổi dấu khi đi qua x = 3 suy ra hàm số có đạt cực trị tại x=3.
Vậy hàm số có 1 cực trị.
Câu 23:
Hàm số \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}a{x^2} + bx + \frac{1}{3}\) đạt cực đại tại x = 1 và giá trị cực đại tại điểm đó bằng 2. Tính tổng a+b khi đó?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
\(\begin{array}{l} {y^/} = - {x^2} + ax + b\\ {y^{//}} = - 2x + a \end{array}\)
\(\left\{ \begin{array}{l} {y^/}(1) = 0\\ {y^{//}}(1) < 0\\ y(1) = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 + a + b = 0\\ - 2 + a < 0\\ \frac{1}{2}a + b = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = 3\\ a < 2 \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = 3 \end{array} \right.\)
Kiểm tra lại ta thấy giá trị a và b tìm được hoàn toàn thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy a+b=1.
Câu 24:
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m + {m^4}\). Với giá trị nào của m thì đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.
A. \(m = \sqrt[5]{{16}}\)
B. \(m = 16\)
C. \(m = \sqrt[3]{{16}}\)
D. \(m = - \sqrt[3]{{16}}\)
\(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 4mx\\ y' = 0 \Leftrightarrow 4x({x^2} - m) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = m\,(*) \end{array} \right. \end{array}\)
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \(y'=0\) phải có 3 nghiệm phân biệt.
Phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
Điều này xảy ra khi m>0.
Khi đó đồ thị hàm số luôn có ba điểm cực trị \(A\left( {0;2m + {m^4}} \right);B\left( {{x_B};{y_B}} \right);C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\) với B và C đối xứng nhau qua Oy, hay đường thẳng BC song song hoặc trùng với trục hoành (y=0).
Suy ra: phương trình đường thẳng BC có dạng: y+a=0
Ta có: \({y_B} = {y_C} = f\left( {\sqrt m } \right) = f\left( { - \sqrt m } \right)\)
\(= {m^2} - 2{m^2} + 2m + {m^4} = {m^4} - {m^2} + 2m\)
Suy ra phương trình BC là: \(y - ({m^4} + {m^2} + 2m) = 0\)
Khi đó:
\(d\left( {A;BC} \right) = \left| {2m + {m^4} - \left( {{m^4} + 2m - {m^2}} \right)} \right| = \left| {{m^2}} \right| = {m^2}\)
Như vậy rõ ràng
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.d\left( {A;BC} \right).BC\)
\(= \frac{1}{2}.{m^2}.2\sqrt m = 4 \Rightarrow m = \sqrt[5]{{16}}\)
Câu 25:
Cho hàm số \(y = x - {e^x}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x=0
B. Hàm số đạt cực đại tại x=0
C. Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
D. Hàm số có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Hàm số \(y = x - {e^x}\) có \(y' = 1 - {e^x},y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Ta có:
Ta thấy y' đổi dấu từ (+) sang (-) khi x đi qua điểm 0 nên hàm số đã cho đạt cực đại tại x=0 nên B đúng.
C và D sai vì:
Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
Hàm số có tập xác định là D=R
Câu 26:
Tìm tọa độ diểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = x - 5 + \frac{1}{x}\) .
A. -1
B. (1;-3)
C. -7
D. (-1;-7)
TXĐ: D=R\{0}
Hàm số \(y = x - 5 + \frac{1}{x}\) có đạo hàm \(y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
đổi dấu từ (+) sang (-) tại x=1 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=1.
Vậy tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là: (1; -3)
Câu 27:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = m{x^4} + \left( {m - 1} \right){x^2} + 1 - 2m\) có ba điểm cực trị.
A. \(1 < m < 2\)
B. \(- 1 < m < 0\)
C. \(m > 1\)
D. \(0 < m < 1\)
Ta có \(y = m{x^4} + \left( {m - 1} \right){x^2} + 1 - 2m\)
\(y' = 4m{x^3} + 2\left( {m - 1} \right)x\)
\(y' = 0 \leftrightarrow x\left( {4m{x^2} + 2m - 2} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 4m{x^2} + 2m - 2 = 0\,\left( I \right) \end{array} \right.\)
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y'=0 có 3 nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi (I) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
\(\left\{ \begin{array}{l} 4m{.0^2} + 2m - 2 \ne 0\\ m \ne 0\\ \frac{{2 - 2m}}{m} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 1\\ m \ne 0\\ 0 < m < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 1\)
Câu 28:
Đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a > 0;b > 0} \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0
B. 2
C. 1
D. 3
Ta có:
\(y' = 4a{x^3} + 2bx\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {2a{x^2} + b} \right) = 0\)
Do \(a > 0;b > 0\) nên phương trình \(y'=0\) chỉ có một nghiệm duy nhất.
Do đó đồ thị hàm số chỉ có một điểm cực trị.
Câu 29:
Hàm số nào sau đây không có cực trị?
A. \(y = {x^3} - 3x\)
B. \(y = {x^3} - 3x^2\)
C. \(y = {x^4} - 2{x^2}\)
D. \(y = 3{x^3}\)
Ta kiểm tra lần lượt các phương án:
+ Với phương án C, hàm số bậc bốn trùng phương luôn có tối thiểu một điểm cực trị.
+ Với phương án A, C, D hàm số bậc ba có cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt.
Kiểm tra ta thấy hàm số \(y = 3{x^3}\) có \(y' = 9{x^2} \ge 0,\forall x\) nên hàm số không có cực trị.
Vậy D là phương án cần tìm.
Câu 30:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = m{x^3} - \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + 2x - 3 đạt cực tiểu tại x=1.
A. \(m = 0\)
B. \(m = -1\)
C. \(m = -2\)
D. \(m = \frac{3}{2}\)
\(y = m{x^3} - \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + 2x - 3\)
\(\begin{array}{l} y' = 3m{x^2} - 2({m^2} + 1)x + 2\\ y'' = 6mx - 2({m^2} + 1) \end{array}\)
\(y'(1) = 0 \Leftrightarrow 3m - 2({m^2} + 1) + 2 = 0 \Leftrightarrow 2{m^2} - 3m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = \frac{3}{2} \end{array} \right.\)
Với m=0:
\(y''(1) = - 2 < 0\)
Vậy m=0 không thỏa yêu cầu bài toán.
Với \(m = \frac{3}{2}\):
\(y''(1) = \frac{5}{2} > 0\).
Thử lại ta thấy với \(m = \frac{3}{2}\) hàm số đạt cực tiểu tại x=1.
Câu 31:
Tìm giá trị cực đại \(y_{CD}\) của hàm số \(y = {x^3} - 3x - 2\).
A. \({y_{CD}} = 0\)
B. \({y_{CD}} = 4\)
C. \({y_{CD}} = -1\)
D. \({y_{CD}} = 1\)
Vậy hàm số đạt cực đại tại x=-1, giá trị cực đại là \(y_{CD}=y(-1)=0\).
Câu 32:
Tìm giá trị của m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + mx}}{{1 - x}}\) bằng 10.
A. m=2
B. m=1
C. m=3
D. m=4
Các điểm cực trị (nếu có) của đồ thị hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) sẽ nằm trên đồ thị hàm số \(y = \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}}\).
\(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + mx}}{{1 - x}}\)
TXĐ: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ 1 \right\}\).
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 2x + m}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ {x^2} - 2x - m = 0\,\,(*) \end{array} \right.\)
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 hay:
\(\left\{ \begin{array}{l} \Delta = 1 + m > 0\\ {1^2} - 2.1 - m \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 1\)
Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
\(y = \frac{{\left( {{x^2} + mx} \right)'}}{{(1 - x)'}} = \frac{{2x + m}}{{ - 1}} = - 2x - m\)
Gọi \(A\left( {{x_1}; - 2{x_1} - m} \right);\,B\left( {{x_2}; - 2{x_2} - m} \right)\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Theo định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2\\ {x_1}{x_2} = - m \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} AB = 10 \Rightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {2{x_1} - 2{x_2}} \right)^2} = 100 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 20\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 20 \Rightarrow {2^2} - 4( - m) = 20 \Leftrightarrow m = 4 \end{array}\)
Câu 33:
Tìm các điểm cực tiểu của hàm số \(y = {x^4} + 3{x^2} + 2\).
A. x=-1
B. x=0
C. x=5
D. x=1;x=2
\(\begin{array}{l} y = {x^4} + 3{x^2} + 2\\ y' = 4{x^3} + 6x \end{array}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Vì phương trình \(y' = 0\) có 1 nghiệm và hệ số của \(x^4\) dương nên x=0 là điểm cực tiểu.
Câu 35:
Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + {m^2}x + 5\) có 2 điểm cực trị.
A. \(2 \le m \le 3\)
B. \(m<\frac{1}{2}\)
C. \(m>\frac{1}{3}\)
D. \(m=1\)
Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị nên phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
Ta có:\(y' = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2}\)
\(\Delta ' = - 2m + 1\)
Phương trình y' = 2 có 2 nghiệm phân biệt khi \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}\)
Câu 36:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số \(y = {x^4} + 2m{x^2} + 1\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
A. \(m = 1\)
B. \(m = -1\)
C. \(m = \frac{1}{{\sqrt[3]{9}}}\)
D. \(m =- \frac{1}{{\sqrt[3]{9}}}\)
\(y' = 4{x^3} + 4mx = 4x\left( {{x^2} + m} \right)\)
Đề phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình \({x^2} = - m\) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0 hay m<0 nên ta loại ngay A,C.
Đến đây ta có thể thử từng giá trị của 2 đáp án còn lại.
m = -1 thỏa yêu cầu bài toán.
Giải chi tiết như sau:
Với m<0 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị có tọa độ:
\(A(0;1);\,B( - \sqrt { - m} ;1 - m);\,C\left( {\sqrt { - m} ;1 - m} \right)\)
Đường thẳng BC song song với trục hoành nên: \(BC = \left| {{x_B} - {x_C}} \right| = 2\sqrt { - m}\)
Gọi I là trung điểm của BC \(\Rightarrow I\left( {0;1 - m} \right)\)
AI song song với trục Oy nên: \(AI = \left| {{y_A} - {y_I}} \right| = - m\)
Tam giác ABC vuông khi \(AI = \frac{1}{2}BC \Rightarrow - m = \sqrt { - m} \Leftrightarrow m = - 1\) (do m<0)
Câu 37:
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau (với a, b, c, d là các hằng số).
(I): Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) luôn lớn hơn giá trị cực tiểu của nó.
(II): Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) luôn có ít nhất một cực trị
(III): Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) luôn lớn hơn mọi giá trị của hàm số đó trên tập xác định.
(IV): Hàm số y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {c \ne 0,ad - bc \ne 0} \right) không có cực trị.
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 1
B. 4
C. 3
D. 2
(I), (III) là sai: Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) có thể nhỏ hơn, lớn hơn hoặc bằng giá trị cực tiểu của nó vì tính “cực đại” hay “cực tiểu” là chỉ xét trên một “lân cận” (khoảng (x0 – h;x0 + h)) của x0, không xét trên toàn bộ tập xác định. Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) có thể lớn hơn, bằng hoặc nhỏ hơn một giá trị nào đó của hàm số trên tập xác định.
(II) đúng: Hàm số bậc 4 trùng phương luôn có ít nhất một cực trị tại điểm x=0.
(IV) đúng: Hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\left( {c \ne 0;ad - bc \ne 0} \right)\) không có cực trị vì đạo hàm \(y' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\) luôn âm hoặc luôn dương trên tập xác định.
Câu 38:
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = x4 – 2mx2 + m – 1 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều.
A. m=3
B. m=0
C. m>0
D. \(m = \sqrt[3]{3}\)
Xét hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m - 1\)
\(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 4mx = 4x({x^2} - m)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = m\,(*) \end{array} \right. \end{array}\)
Đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) có ba nghiệm phân biệt.
Phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
Điều này xảy ra khi m>0.
Khi m>0, ta có 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số:
\(A(0;m - 1),\,B( - \sqrt m ; - {m^2} + m - 1),\,C( - \sqrt m ; - {m^2} + m - 1)\)
Ta có tam giác ABC cân tại A.
Vậy ABC đều khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l} AB = BC \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt m } \right)}^2} + {m^4}} = 2\sqrt m \\ \Leftrightarrow m + {m^4} = 4m \Leftrightarrow m({m^3} - 3) = 0 \Rightarrow m = \sqrt[3]{3}\,(m > 0) \end{array}\)
Câu 39:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = {x^3} - 3{x^2} + m có hai cực trị nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là trục hoành.
A. 0 < m < 2
B. m < 0
C. m > 2
D. 0 < m < 4
Ta có:
\(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 6x\\ y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy đồ thị hàm số luôn có cực đại và cực tiểu tại hai điểm \({M_1}\left( {0;m} \right),\,{M_2}\left( {2;m - 4} \right)\).
Để đồ thị hàm số hai điểm cực trị nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là trục hoành thì giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số phải trái dấu nhau hay: \(m.(m - 4) < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 4\).
Câu 40:
Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-3m{x^2} + 3\left( {{m^2}-{\rm{ }}1} \right)x-3{m^2}{\rm{ + }}5\) đạt cực đại tại x = 1.
A. m=0 hoặc m=2
B. m=2
C. m=1
D. m=0
\(\begin{array}{l} y = {x^3} - 3m{x^2} + 3({m^2} - 1)x - 3{m^2} + 5\\ y' = 3{x^2} - 6mx + 3({m^2} - 1)\\ y'' = 6x - 6m \end{array}\)
\(y'(1) = 0 \Rightarrow 3 - 6m + 3({m^2} - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 2 \end{array} \right.\)
Với m=0, \(y''(1) = 6 > 0\) (loại)
Với m=2, \(y''(1) = - 6 < 0\).
Đến đây ta cần thử lại xem với m=2 hàm số có đạt cực đại tại x=1 hay không mới có thể kết luận. Tuy nhiên đây là bài toán trắc nghiệm, không có phương án không tồn tại giá trị m nên ta có thể chọn ngay phương án B.
