Chứng minh rằng với mọi m hệ phương trình luôn có nghiệm.

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - my = 2 - 4m\\mx + y = 3m + 1\end{array} \right.\).
Chứng minh rằng với mọi \(m\) hệ phương trình luôn có nghiệm.
Gọi \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là một cặp nghiệm của phương trình:
Chứng minh: \({x_0}^2 + {y_0}^2 - 5\left( {{x_0} + {y_0}} \right) + 10 = 0\).
(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán - ĐHSP Hà Nội 2015).
Lời giải:
Từ phương trình (2) của hệ phương trình ta có \(y = 3m + 1 - mx\) thay vào phương trình \(\left( 1 \right)\) của hệ ta có:
\(\left( {{m^2} + 1} \right)x = 3{m^2} - 3m + 2\).
Do \({m^2} + 1 \ne 0\) với mọi \(m\) nên phương trình này luôn có nghiệm duy nhất \({x_0}\).
Suy ra hệ luôn có nghiệm với mọi \(m\).
Gọi \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là một nghiệm của hệ:
Từ hệ phương trình ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 2 = m\left( {{y_0} - 4} \right)\\{y_0} - 1 = m\left( {3 - {x_0}} \right)\end{array} \right.\).
Nhân cả hai vế phương trình thứ nhất với \(\left( {3 - {x_0}} \right)\),
phương trình thứ hai với \(\left( {{y_0} - 4} \right)\)
rồi trừ hai phương trình cho nhau ta được:
\(\left( {3 - {x_0}} \right)\left( {{x_0} - 2} \right) - \left( {{y_0} - 4} \right)\left( {{y_0} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_0}^2 + {y_0}^2 - 5\left( {{x_0} + {y_0}} \right) + 10 = 0\).
Ngoài ra ta cũng có thể giải theo cách khác như sau:
\(\left( d \right):x - my + 4m - 2 = 0,\left( {d'} \right):mx + y - 3m - 1 = 0\).
Ta dễ dàng chứng minh được đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn đi qua điểm cố định: \(A\left( {2;4} \right)\)
và đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) luôn đi qua điểm cố định : \(B\left( {3;1} \right)\).
Mặt khác ta cũng dễ chứng minh đường thẳng \((d)\) và đường thẳng \((d')\) vuông góc với nhau nên hai đường thẳng này luôn cắt nhau.
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là giao điểm của hai đường thẳng thì tam giác \(MAB\) vuông tại \(M\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) thì \(I\left( {\frac{5}{2};\frac{5}{2}} \right)\), \(AB = \sqrt {10} \)
suy ra \(IM = \frac{1}{2}AB \Leftrightarrow 4I{M^2} = A{B^2} \Leftrightarrow 4\left[ {{{\left( {{x_0} - \frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_0} - \frac{5}{2}} \right)}^2}} \right] = 10\).\( \Leftrightarrow {x_0}^2 + {y_0}^2 - 5\left( {{x_0} + {y_0}} \right) + 10 = 0\).