Chứng minh rằng phương trình: ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m - 4 = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ và ...

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Chứng minh rằng phương trình: ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m - 4 = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ và biểu thức $M = {x_1}\left( {1 - {x_2}} \right) + {x_2}\left( {1 - {x_1}} \right)$ không phụ thuộc vào m.
Giải
Phương trình ${x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2{m^2} + 2m + 1 = 0$
Có $\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 2{m^2} - 2m - 1 = {m^2} + 2m + 1 - 2{m^2} - 2m - 1 = - {m^2}$
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m \ne 0$.
Theo định lý Vi et ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}.{x_2} = 2{m^2} + 2m + 1\end{array} \right. \Rightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 = 12 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 12 = 0$
Hay $4{\left( {m + 1} \right)^2} - 2\left( {2{m^2} + 2m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$.