Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx + \left( {m + 1} \right)y = 1\\\left( {m + 1} \right)x - my = 8m + 3\end{array} \right.\).
Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) và tìm GTLN của biểu thức \(P = \left| {{x^2} + {y^2} + \left( {4 + 2\sqrt 3 } \right)y} \right|\) .
Lời giải:
Xét hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):mx + \left( {m + 1} \right)y - 1 = 0;\left( {{d_2}} \right):\left( {m + 1} \right)x - my - 8m + 3 = 0\).
+ Nếu \(m = 0\) thì \(\left( {{d_1}} \right):y - 1 = 0\) và \(\left( {{d_2}} \right):\)\(x - 5 = 0\) suy ra \(\left( {{d_1}} \right)\) luôn vuông góc với \(\left( {{d_2}} \right)\).
+ Nếu \(m = - 1\) thì \(\left( {{d_1}} \right):x + 1 = 0\) và \(\left( {{d_2}} \right):\)\(y + 11 = 0\) suy ra \(\left( {{d_1}} \right)\) luôn vuông góc với \(\left( {{d_2}} \right)\).
+ Nếu \(m \ne \left\{ {0;1} \right\}\) thì đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\) lần lượt có hệ số góc là:
\({a_1} = - \frac{m}{{m + 1}},{a_2} = \frac{{m + 1}}{m}\) suy ra \({a_1}.{a_2} = - 1\) do đó \(\left( {{d_1}} \right) \bot \left( {{d_2}} \right)\).
Tóm lại với mọi \(m\) thì hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) luôn vuông góc với \(\left( {{d_2}} \right)\).
Nên hai đường thẳng luôn vuông góc với nhau.
Xét hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):mx + \left( {m + 1} \right)y - 1 = 0;\left( {{d_2}} \right):\left( {m + 1} \right)x - my - 8m + 3 = 0\) luôn vuông góc với nhau nên nó cắt nhau, suy ra hệ có nghiệm duy nhất.
Gọi giao điểm là \(I\left( {x;y} \right)\), đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) đi qua \(A\left( { - 1;1} \right)\) cố định, đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) luôn đi qua \(B\left( {3; - 5} \right)\) cố định suy ra \(I\) thuộc đường tròn đường kính \(AB\).
Gọi \(M\left( {1; - 2} \right)\) là trung điểm \(AB\) thì \(MI = \frac{{AB}}{2} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 13\)(*).
\(P = \left| {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2} + 2x + 2\sqrt 3 y - 5} \right| = \left| {8 + 2\left( {x + \sqrt 3 y} \right)} \right| = \) \(\left| {8 + 2\left[ {x - 1 + \sqrt 3 \left( {y + 2} \right) + 1 - 2\sqrt 3 } \right]} \right|\) hay \(P = \left| {10 - 4\sqrt 3 + 2\left[ {x - 1 + \sqrt 3 \left( {y + 2} \right)} \right]} \right|\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
\({\left[ {x - 1 + \sqrt 3 \left( {y + 2} \right)} \right]^2} \le \left( {1 + 3} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} \right] = 52 \Rightarrow x - 1 + \sqrt 3 \left( {y + 2} \right) \le \)\(\sqrt {52} = 2\sqrt {13} \). Vậy \(P \le 10 - 2\sqrt 3 + 2\sqrt {13} \).
Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) và tìm GTLN của biểu thức \(P = \left| {{x^2} + {y^2} + \left( {4 + 2\sqrt 3 } \right)y} \right|\) .
Lời giải:
Xét hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):mx + \left( {m + 1} \right)y - 1 = 0;\left( {{d_2}} \right):\left( {m + 1} \right)x - my - 8m + 3 = 0\).
+ Nếu \(m = 0\) thì \(\left( {{d_1}} \right):y - 1 = 0\) và \(\left( {{d_2}} \right):\)\(x - 5 = 0\) suy ra \(\left( {{d_1}} \right)\) luôn vuông góc với \(\left( {{d_2}} \right)\).
+ Nếu \(m = - 1\) thì \(\left( {{d_1}} \right):x + 1 = 0\) và \(\left( {{d_2}} \right):\)\(y + 11 = 0\) suy ra \(\left( {{d_1}} \right)\) luôn vuông góc với \(\left( {{d_2}} \right)\).
+ Nếu \(m \ne \left\{ {0;1} \right\}\) thì đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\) lần lượt có hệ số góc là:
\({a_1} = - \frac{m}{{m + 1}},{a_2} = \frac{{m + 1}}{m}\) suy ra \({a_1}.{a_2} = - 1\) do đó \(\left( {{d_1}} \right) \bot \left( {{d_2}} \right)\).
Tóm lại với mọi \(m\) thì hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) luôn vuông góc với \(\left( {{d_2}} \right)\).
Nên hai đường thẳng luôn vuông góc với nhau.
Xét hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):mx + \left( {m + 1} \right)y - 1 = 0;\left( {{d_2}} \right):\left( {m + 1} \right)x - my - 8m + 3 = 0\) luôn vuông góc với nhau nên nó cắt nhau, suy ra hệ có nghiệm duy nhất.
Gọi giao điểm là \(I\left( {x;y} \right)\), đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) đi qua \(A\left( { - 1;1} \right)\) cố định, đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) luôn đi qua \(B\left( {3; - 5} \right)\) cố định suy ra \(I\) thuộc đường tròn đường kính \(AB\).
Gọi \(M\left( {1; - 2} \right)\) là trung điểm \(AB\) thì \(MI = \frac{{AB}}{2} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 13\)(*).
\(P = \left| {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2} + 2x + 2\sqrt 3 y - 5} \right| = \left| {8 + 2\left( {x + \sqrt 3 y} \right)} \right| = \) \(\left| {8 + 2\left[ {x - 1 + \sqrt 3 \left( {y + 2} \right) + 1 - 2\sqrt 3 } \right]} \right|\) hay \(P = \left| {10 - 4\sqrt 3 + 2\left[ {x - 1 + \sqrt 3 \left( {y + 2} \right)} \right]} \right|\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
\({\left[ {x - 1 + \sqrt 3 \left( {y + 2} \right)} \right]^2} \le \left( {1 + 3} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} \right] = 52 \Rightarrow x - 1 + \sqrt 3 \left( {y + 2} \right) \le \)\(\sqrt {52} = 2\sqrt {13} \). Vậy \(P \le 10 - 2\sqrt 3 + 2\sqrt {13} \).