Cho tứ diện $SABC,E,F$ lần lượt thuộc đoạn $AC,AB.$ Gọi $K$ là giao điểm của $BE$ và $CF$ . Gọi $D$ là giao điểm của $\left( SAK \right)$ với $B

Cho tứ diện $SABC,E,F$ lần lượt thuộc đoạn $AC,AB.$ Gọi $K$ là giao điểm của $BE$ và $CF$ . Gọi $D$ là giao điểm của $\left( SAK \right)$ với $BC$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
C. $\dfrac{AK}{KD}+\dfrac{BK}{KE}+\dfrac{CK}{KF}\ge 6$.
B. $\dfrac{AK}{KD}+\dfrac{BK}{KE}+\dfrac{CK}{KF}\le 6$.
C. $\dfrac{AK}{KD}+\dfrac{BK}{KE}+\dfrac{CK}{KF}>6$.
D. $\dfrac{AK}{KD}+\dfrac{BK}{KE}+\dfrac{CK}{KF}<6$.

Đáp án A.
Nếu K trùng với trọng tâm G thì $\dfrac{AK}{KD}+\dfrac{BK}{KE}+\dfrac{CK}{KF}=6$ . Do đó C, D bị loại.
Ta có $\dfrac{DK}{DA}+\dfrac{EK}{EB}+\dfrac{FK}{FC}=\dfrac{{{S}_{KBC}}}{{{S}_{ABC}}}+\dfrac{{{S}_{KAC}}}{{{S}_{ABC}}}+\dfrac{{{S}_{KAB}}}{{{S}_{ABC}}}=1$
Áp dụng định lý bất đẳng thức Cauchy ta có:
$\begin{align}
& \left( \dfrac{DK}{DA}+\dfrac{EK}{EB}+\dfrac{FK}{FC} \right)\left( \dfrac{DA}{DK}+\dfrac{EB}{EK}+\dfrac{FC}{FK} \right)\ge 9 \\
& \Rightarrow \dfrac{DA}{DK}+\dfrac{EB}{EK}+\dfrac{FC}{FK}\ge 9\Rightarrow \dfrac{AK}{KD}+\dfrac{BK}{KE}+\dfrac{CK}{KF}\ge 6 \\
\end{align}$