Cho tứ diện $ABCD,E$ nằm trên đoạn $BC$ sao cho $BC=3EC,F$ là điểm nằm trên $BD$ sao cho $CD=3DF$ . Gọi $G$ là giao điểm của $BF$ và $DE$ . Giao

Cho tứ diện $ABCD,E$ nằm trên đoạn $BC$ sao cho $BC=3EC,F$ là điểm nằm trên $BD$ sao cho $CD=3DF$ . Gọi $G$ là giao điểm của $BF$ và $DE$ . Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( ACG \right)$ và $\left( ABD \right)$ là:
C. $AH$ trong đó $H$ thuộc $BD$ sao cho $\overrightarrow{BH}=-4\overrightarrow{HD}$
B. $AH$ trong đó $H$ thuộc $BD$ sao cho $\overrightarrow{BH}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{HD}$
C. $AH$ trong đó $H$ thuộc $BD$ sao cho $\overrightarrow{BH}=4\overrightarrow{HD}$
D. $AH$ trong đó $H$ thuộc $BD$ sao cho $\overrightarrow{BH}=-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{HD}$
 
Đáp án C.
Trong $\left( BCD \right)$ , gọi $H=CG\cap BD$ .
Dễ thấy $H$ thuộc đoạn $BD$ nên $\overrightarrow{BH},\overrightarrow{HD}$ cùng hướng.
Do đó đáp án A, D bị loại.
Áp dụng định lý Ceva trong tam giác $BCD$ với $BF,DE,CH$ đồng quy ta có:
$\dfrac{EB}{EC}.\dfrac{FC}{FD}.\dfrac{HD}{HB}=1\Rightarrow 2.2.\dfrac{HD}{HB}=1\Rightarrow \dfrac{HD}{HB}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow BH=4DH$
Do $\overrightarrow{BH},\overrightarrow{HD}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{BH}=4\overrightarrow{HD}$ .