a) Ta có: \(AH\perp BC\) suy ra \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\), \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\)
\(\Rightarrow \widehat{C}+\widehat{HAC}=90^{\circ}; \widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^{\circ}\)
Có: \(AI\) là phân giác \(\widehat{BAH}\) nên \(\widehat{IAH}=\widehat{IAB}=\frac{1}{2}\widehat{BAH}=\widehat{C}\) (vì theo giả thiết có \(\widehat{BAH}=2 \widehat{C}\))
Suy ra \(\widehat{IAH}+\widehat{HAC}=90^{\circ}\)
\(\Rightarrow \widehat{IAC}=90^{\circ} \) hay \(\widehat{IAE}=90^{\circ}\Rightarrow \Delta IAE\) vuông tại \(A\) (1)
Lại có: \(\widehat{AIE}=\widehat{IAB}+\widehat{IBA}\) (góc ngoài tại đỉnh \(I\) của \(\Delta ABI\))
Mà \(BE\) là phân giác \(\widehat{ABH}\Rightarrow \widehat{IBA}=\frac{1}{2}\widehat{ABH}\)
Suy ra \( \widehat{AIE}=\frac{1}{2}(\widehat{BAH}+\widehat{ABH})=\frac{1}{2}.90^{\circ}=45^{\circ}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta AIE\) vuông cân tại \(A\)
b) Ta có: \(AI\) là phân giác \(\widehat{BAH}\); \(AI\perp AE\) tại \(A\)
Suy ra \(AE\) là phân giác ngoài của \(\Delta ABH\) tại \(A\), \(BE\) là phân giác trong tại \(B\) của \(\Delta ABH\)
\(\Rightarrow HE\) là phân giác ngoài tại \(H\) của \(\Delta BAH\)
\(\Rightarrow HE\) là phân giác \(\widehat{AHC}\)
