Cho tam giác ABC có AB<AC và các góc B,C đều là góc nhọn. Chứng minh rằng nếu đường cao AH và đường trung tuyến AM tạo với 2 cạnh AB và AC các góc bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
Áp dụng định lý sin vào $\Delta CAM$ ta có $\frac{CM}{AM}=\frac{sin\widehat{MAC}}{sinC}$
$\Delta BAM$ ta có $\frac{BM}{AM}=\frac{sin\widehat{BAM}}{sinB}$
$sin\widehat{BAM}.sinC=sinB.sin\widehat{MAC}$
$sin(\widehat{A}-\widehat{MAC}).sinC=sinB.sin(90^0-\widehat{B})$
$sin(\widehat{A}-90^0+\widehat{B}).sinC=sinB.cosB$
$sin(90^0-\widehat{C}).sinC=sinB.cosB$
$cosC.sinC=sinB.cosB$
$sin2C=cos2B$
Suy ra $\widehat{B}=\widehat{C}$(loại) hoặc $\widehat{B}+\widehat{C}=90^0$(đpcm)
