Cho phương trình: ${x^2} - 2x + m + 3 = 0$ (m là tham số).
a) Tìm m để phương trình có nghiệm $x = 3$. Tìm nghiệm còn lại.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn $x_1^3 + x_2^3 = 8$.
Giải
a) Phương trình: ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m - 3 = 0$ (1)
có $\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {4m - 3} \right) = {m^2} + 2m + 1 - 4m + 3$
$ = \left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 3 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 3 > 0$ với mọi m.
Suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b). Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là ${x_1},{x_2}$
Theo hệ thức Viet ta có: $S = {x_1} + {x_2} = 2m + 2 \Rightarrow m = \frac{{S - 2}}{2}$ (2) $P = {x_1}{x_2} = 4m - 3 \Rightarrow m = \frac{{P + 3}}{4}$$ \Rightarrow \frac{{S - 2}}{2} = \frac{{P + 3}}{4} \Rightarrow 2S - 4 = P + 3$.$ \Rightarrow 2S - P = 7 \Rightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} - {x_1}{x_2} = 7$
a) Tìm m để phương trình có nghiệm $x = 3$. Tìm nghiệm còn lại.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn $x_1^3 + x_2^3 = 8$.
Giải
a) Phương trình: ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m - 3 = 0$ (1)
có $\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {4m - 3} \right) = {m^2} + 2m + 1 - 4m + 3$
$ = \left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 3 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 3 > 0$ với mọi m.
Suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b). Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là ${x_1},{x_2}$
Theo hệ thức Viet ta có: $S = {x_1} + {x_2} = 2m + 2 \Rightarrow m = \frac{{S - 2}}{2}$ (2) $P = {x_1}{x_2} = 4m - 3 \Rightarrow m = \frac{{P + 3}}{4}$$ \Rightarrow \frac{{S - 2}}{2} = \frac{{P + 3}}{4} \Rightarrow 2S - 4 = P + 3$.$ \Rightarrow 2S - P = 7 \Rightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} - {x_1}{x_2} = 7$