1) Cho phương trình ${x^2} - 2x - 3{m^2} = 0$, với m là tham số
1) Giải phương trình khi $m = 1.$
2) Tìm tất các các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2} \ne 0$
và thỏa điều kiện $\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} - \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \frac{8}{3}$.
Giải
1) Khi $m = 1$ phương trình thành: ${x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.$ (do $a - b + c = 0$).
2) Với ${x_1},{x_2} \ne 0$ ta có:
$\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} - \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \frac{8}{3} \Leftrightarrow 3\left( {x_1^2 - x_2^2} \right) = 8{x_1}{x_2}$
$ \Leftrightarrow 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right) = 8{x_1}{x_2}$.
Ta có $a.c = - 3{m^2} \le 0$ nên $\Delta \ge 0,\forall m$
Khi $\Delta \ge 0$, ta có: ${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = 2$ và ${x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = - 3{m^2} \le 0$
Phương trình có hai nghiệm $ \ne 0$ do đó $m \ne 0$$ \Rightarrow \Delta > 0$ và ${x_1}{x_2} < 0$.
Giả sử ${x_1} > {x_2}$
Với $a = 1 \Rightarrow {x_1} = - b' - \sqrt {\Delta '} $ và ${x_2} = - b' + \sqrt {\Delta '} $$ \Rightarrow {x_1} - {x_2} = 2\sqrt {\Delta '} = 2\sqrt {1 + 3{m^2}} $
Do đó yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow 3.2\left( { - 2\sqrt {1 + 3{m^2}} } \right) = 8.\left( { - 3{m^2}} \right)$ và $m \ne 0$ $ \Leftrightarrow 4{m^4} - 3{m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 1\\{m^2} = - \frac{1}{4}(l)\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \pm 1$.
1) Giải phương trình khi $m = 1.$
2) Tìm tất các các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2} \ne 0$
và thỏa điều kiện $\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} - \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \frac{8}{3}$.
Giải
1) Khi $m = 1$ phương trình thành: ${x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.$ (do $a - b + c = 0$).
2) Với ${x_1},{x_2} \ne 0$ ta có:
$\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} - \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \frac{8}{3} \Leftrightarrow 3\left( {x_1^2 - x_2^2} \right) = 8{x_1}{x_2}$
$ \Leftrightarrow 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right) = 8{x_1}{x_2}$.
Ta có $a.c = - 3{m^2} \le 0$ nên $\Delta \ge 0,\forall m$
Khi $\Delta \ge 0$, ta có: ${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = 2$ và ${x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = - 3{m^2} \le 0$
Phương trình có hai nghiệm $ \ne 0$ do đó $m \ne 0$$ \Rightarrow \Delta > 0$ và ${x_1}{x_2} < 0$.
Giả sử ${x_1} > {x_2}$
Với $a = 1 \Rightarrow {x_1} = - b' - \sqrt {\Delta '} $ và ${x_2} = - b' + \sqrt {\Delta '} $$ \Rightarrow {x_1} - {x_2} = 2\sqrt {\Delta '} = 2\sqrt {1 + 3{m^2}} $
Do đó yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow 3.2\left( { - 2\sqrt {1 + 3{m^2}} } \right) = 8.\left( { - 3{m^2}} \right)$ và $m \ne 0$ $ \Leftrightarrow 4{m^4} - 3{m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 1\\{m^2} = - \frac{1}{4}(l)\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \pm 1$.