Cho phương trình ${x^2} - 2mx + m - 2 = 0$ (x là ẩn số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi ${x_1},{x_2}$ là các nghiệm của phương trình.
Tìm m để biểu thức $M = \frac{{ - 24}}{{x_1^2 + x_2^2 - 6{x_1}{x_2}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
a) $\Delta ' = {m^2} - m + 2{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0$ với mọi mVậy phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m.
b) Theo hệ thức Viet ta có: ${x_1} + {x_2} = 2m;{x_1}{x_2} = m - 2$
$M = \frac{{ - 24}}{{x_1^2 + x_2^2 - 6{x_1}{x_2}}} = \frac{{ - 24}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 6{x_1}{x_2}}} = \frac{{ - 24}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 8{x_1}{x_2}}}$$ = \frac{{ - 24}}{{{{\left( {2m} \right)}^2} - 8\left( {m - 2} \right)}} = \frac{{ - 24}}{{4{m^2} - 8m + 16}} = \frac{{ - 6}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 3}} \ge - 2$.
Dấu “=” xảy ra khi $m = 1$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $M = - 2$ khi $m = 1$.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi ${x_1},{x_2}$ là các nghiệm của phương trình.
Tìm m để biểu thức $M = \frac{{ - 24}}{{x_1^2 + x_2^2 - 6{x_1}{x_2}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
a) $\Delta ' = {m^2} - m + 2{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0$ với mọi mVậy phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m.
b) Theo hệ thức Viet ta có: ${x_1} + {x_2} = 2m;{x_1}{x_2} = m - 2$
$M = \frac{{ - 24}}{{x_1^2 + x_2^2 - 6{x_1}{x_2}}} = \frac{{ - 24}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 6{x_1}{x_2}}} = \frac{{ - 24}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 8{x_1}{x_2}}}$$ = \frac{{ - 24}}{{{{\left( {2m} \right)}^2} - 8\left( {m - 2} \right)}} = \frac{{ - 24}}{{4{m^2} - 8m + 16}} = \frac{{ - 6}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 3}} \ge - 2$.
Dấu “=” xảy ra khi $m = 1$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $M = - 2$ khi $m = 1$.