Cho phương trình: ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 4 = 0$ (m là tham số)
a) Giải phương trình với $m = 2$.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn $x_1^2 + 2\left( {m + 1} \right){x_2} \le 3{m^2} + 16$.
Giải
a) Với $m = 2$, ta có phương tình: ${x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.$.
b) Xét phương trình (1) ta có: $\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} + 4} \right) = 2m - 3$
Phương trình (1) có hai nghiệm ${x_1},{x_2} \Leftrightarrow m \ge \frac{3}{2}$.
Theo hệ thức Viet: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 4\end{array} \right.$.
Theo giả thiết: $x_1^2 + \left( {{x_1} + {x_2}} \right){x_2} \le 3{m^2} + 16$
$ \Leftrightarrow x_1^2 + {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}{x_2} \le 3{m^2} + 16 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} \le 3{m^2} + 16$
$ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} \le 3{m^2} + 16 \Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 4} \right) \le 3{m^2} + 16$
$ \Leftrightarrow 8m \le 16 \Leftrightarrow m \le 2$. Vậy $\frac{3}{2} \le m \le 2$.
a) Giải phương trình với $m = 2$.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn $x_1^2 + 2\left( {m + 1} \right){x_2} \le 3{m^2} + 16$.
Giải
a) Với $m = 2$, ta có phương tình: ${x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.$.
b) Xét phương trình (1) ta có: $\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} + 4} \right) = 2m - 3$
Phương trình (1) có hai nghiệm ${x_1},{x_2} \Leftrightarrow m \ge \frac{3}{2}$.
Theo hệ thức Viet: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 4\end{array} \right.$.
Theo giả thiết: $x_1^2 + \left( {{x_1} + {x_2}} \right){x_2} \le 3{m^2} + 16$
$ \Leftrightarrow x_1^2 + {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}{x_2} \le 3{m^2} + 16 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} \le 3{m^2} + 16$
$ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} \le 3{m^2} + 16 \Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 4} \right) \le 3{m^2} + 16$
$ \Leftrightarrow 8m \le 16 \Leftrightarrow m \le 2$. Vậy $\frac{3}{2} \le m \le 2$.