Cho một bể cạn (không có nước). Nếu hai vòi nước cùng được mở để chảy vào bể này thì sẽ đầy bể sau 4 giờ 48 phút. Nếu mở riêng từng vòi chảy vào bể thì thời gian vòi một chảy đầy bể sẽ ít hơn thời gian vòi hai chảy đầy bể là 4 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể?
Lời giải
Đổi 4 giờ 48 phút = \(4\frac{4}{5}\) giờ =\(\frac{{24}}{5}\) giờ
Cách 1: Lập hệ phương trình
Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể trong \(x\) (giờ, \(x > \frac{{24}}{5}\))
Gọi thời gian vòi hai chảy một mình đầy bể trong \(y\) (giờ, \(y > \frac{{24}}{5}\))
Biết hai vòi cùng chảy thì sau \(\frac{{24}}{5}\) giờ thì đầy bể nên ta có phương trình: \(\frac{{24}}{{5x}} + \frac{{24}}{{5y}} = 1\) (1)
Nếu chảy riêng thì vòi một chảy đầy bể nhanh hơn vòi hai là 4 giờ nên ta có phương trình:
\(x = y - 4\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{24}}{{5x}} + \frac{{24}}{{5y}} = 1\\x = y - 4\end{array} \right.\)
Giải hệ trên ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 8\\y = 12\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy vòi một chảy một mình trong 8 giờ thì đầy bể và vòi hai chảy một mình trong 12 giờ thì đầy bể.
Cách 2: Lập phương trình
Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là \(x\) (giờ, \(x > \frac{{24}}{5}\))
Khi đó trong một giờ vòi một chảy được \(\frac{1}{x}\) (phần bể)
Vòi hai chảy một mình đầy bể trong \(x + 4\) (giờ) nên trong một giờ chảy được: \(\frac{1}{{x + 4}}\) (phần bể)
Tổng cộng trong một giờ hai vòi chảy được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 4}}\) (phần bể) (3)
Sau 4 giờ 48 phút =\(\frac{{24}}{5}\) giờ hai vòi cùng chảy thì đầy bể nên trong một giờ chảy được \(\frac{5}{{24}}\) (phần bể) (4)
Từ (3) và (4) ta có phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 4}} = \frac{5}{{24}}\)
Giải phương trình ta được \(x = - \frac{{12}}{5}\) (loại) hoặc \(x = 8\) (thỏa mãn)
Vậy thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là 8 giờ. Vòi hai chảy một mình đầy bể là \(8 + 4 = 12\) (giờ).
Nhận xét: Ta có thể chuyển bài toán trên thành bài toán sau: “Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 4 giờ 48 phút. Nếu làm riêng để hoàn thành công việc này thì thời gian đội một ít hơn thời gian đội hai là 4 giờ. Hỏi khi làm riêng thì mỗi đội hoàn thành công việc trong bao lâu?
Lời giải
Đổi 4 giờ 48 phút = \(4\frac{4}{5}\) giờ =\(\frac{{24}}{5}\) giờ
Cách 1: Lập hệ phương trình
Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể trong \(x\) (giờ, \(x > \frac{{24}}{5}\))
Gọi thời gian vòi hai chảy một mình đầy bể trong \(y\) (giờ, \(y > \frac{{24}}{5}\))
Biết hai vòi cùng chảy thì sau \(\frac{{24}}{5}\) giờ thì đầy bể nên ta có phương trình: \(\frac{{24}}{{5x}} + \frac{{24}}{{5y}} = 1\) (1)
Nếu chảy riêng thì vòi một chảy đầy bể nhanh hơn vòi hai là 4 giờ nên ta có phương trình:
\(x = y - 4\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{24}}{{5x}} + \frac{{24}}{{5y}} = 1\\x = y - 4\end{array} \right.\)
Giải hệ trên ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 8\\y = 12\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy vòi một chảy một mình trong 8 giờ thì đầy bể và vòi hai chảy một mình trong 12 giờ thì đầy bể.
Cách 2: Lập phương trình
Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là \(x\) (giờ, \(x > \frac{{24}}{5}\))
Khi đó trong một giờ vòi một chảy được \(\frac{1}{x}\) (phần bể)
Vòi hai chảy một mình đầy bể trong \(x + 4\) (giờ) nên trong một giờ chảy được: \(\frac{1}{{x + 4}}\) (phần bể)
Tổng cộng trong một giờ hai vòi chảy được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 4}}\) (phần bể) (3)
Sau 4 giờ 48 phút =\(\frac{{24}}{5}\) giờ hai vòi cùng chảy thì đầy bể nên trong một giờ chảy được \(\frac{5}{{24}}\) (phần bể) (4)
Từ (3) và (4) ta có phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 4}} = \frac{5}{{24}}\)
Giải phương trình ta được \(x = - \frac{{12}}{5}\) (loại) hoặc \(x = 8\) (thỏa mãn)
Vậy thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là 8 giờ. Vòi hai chảy một mình đầy bể là \(8 + 4 = 12\) (giờ).
Nhận xét: Ta có thể chuyển bài toán trên thành bài toán sau: “Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 4 giờ 48 phút. Nếu làm riêng để hoàn thành công việc này thì thời gian đội một ít hơn thời gian đội hai là 4 giờ. Hỏi khi làm riêng thì mỗi đội hoàn thành công việc trong bao lâu?