Cho hình chóp $S.ABCD$ với đáy $ABCD$ là hình thang với đáy $AD$ và $BC$ $\left( AD=a>BC=b \right)$. Gọi $I,J$ lần lượt là trọng tâm các tam giá

Cho hình chóp $S.ABCD$ với đáy $ABCD$ là hình thang với đáy $AD$ và $BC$ $\left( AD=a>BC=b \right)$. Gọi $I,J$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $SAD$ và $SBC$. Mặt phẳng $\left( ADJ \right)$ cắt $SB,SC$ lần lượt tại $M,N$. Mặt phẳng $\left( BCI \right)$ cắt $SA,SD$ lần lượt tại $P,Q$. Gọi $E$ là giao điểm của $AM$ và $PB$, $F$ là giao điểm của $CQ$ và $DN$. Trong các mệnh đề dưới đây, có bao nhiêu mệnh đề sai?
$MN$ và $PQ$ song song với nhau.
$MN$ và $EF$ song song với nhau.
$EF=\dfrac{2}{5}\left( a+b \right)$.
$EF=\dfrac{1}{4}\left( a+b \right)$
C. $4$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $3$.

Đáp án B.
Ta có $I\in \left( SAD \right)$, suy ra $I\in \left( SAD \right)\cap \left( BCI \right)$.
Do $\left\{ \begin{align}
& \left( SAD \right)\cap \left( BCI \right)=PQ \\
& AD\subset \left( SAD \right),BC\subset \left( BCI \right) \\
& AD\parallel BC \\
\end{align} \right.$$\Rightarrow PQ\parallel AD\parallel BC$.
Ta có: $J\in \left( SBC \right)$, suy ra $J\in \left( SBC \right)\cap \left( ADJ \right)$.
Do $\left\{ \begin{align}
& \left( SBC \right)\cap \left( ADJ \right)=MN \\
& BC\subset \left( SBC \right),AD\subset \left( ADJ \right) \\
& AD\parallel BC \\
\end{align} \right.$$\Rightarrow MN\parallel AD\parallel BC$.
Từ đó suy ra $MN$ và $PQ$ song song với nhau.
Ta có: $\left\{ \begin{align}
& EF=\left( ADNM \right)\cap \left( BCQP \right) \\
& AD=\left( ADNM \right)\cap \left( ABCD \right) \\
& BC=\left( ABCD \right)\cap \left( BCQP \right) \\
& AD\parallel BC \\
\end{align} \right.$$\Rightarrow EF\parallel AD$.
Suy ra $EF\parallel MN$. Gọi $K$ là giao điểm của $CP$ với $EF$$EF=EK+KF$.
Do $\dfrac{SP}{SA}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{SM}{SB}\Rightarrow PM\parallel AB$.
Theo định lý Thalet ta có: $\dfrac{PE}{EB}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \dfrac{PE}{PB}=\dfrac{2}{5}$. Do $EK$ song song với $BC$ nên theo định lý Thalet ta có : $\dfrac{PE}{PB}=\dfrac{EK}{BC}=\dfrac{2}{5}\Rightarrow EK=\dfrac{2}{5}b$.
Tương tự ta cũng có: $\dfrac{QF}{FC}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \dfrac{QC}{FC}=\dfrac{5}{3}\Rightarrow \dfrac{PQ}{FK}=\dfrac{5}{3}\Rightarrow FK=\dfrac{3}{5}PQ=\dfrac{3}{5}.\dfrac{2}{3}AD=\dfrac{2}{5}a$.
Từ đây suy ra $EF=\dfrac{2}{5}\left( a+b \right)$.