Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, $AB = 2a$, $AD = DC = CB = a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 3a$

Đáp án: A
Ta có $M$ là trung điểm của $AB$ nên $AM = MB = a$.
$ \Rightarrow MB = DC = a$ và $MN\;//\;DC$
$ \Rightarrow $ $MDCB$ là hình bình hành$ \Rightarrow MD\;//\;BC$$ \Rightarrow MD\;//\;(SBC)$
$ \Rightarrow d(SB,DM) = d(DM,(SBC)) = d(M,(SBC))$
Ta có $AM = DC = a$ và $AM\;//\;DC$ nên $AMCD$ là hình bình hành
$ \Rightarrow MC = AD = a$
Xét tam giác $ACB$, ta có $AM = MB = MC = a$, $M$ là trung điểm $AB$
$ \Rightarrow $ $\Delta ACB$ vuông tại $C$ $ \Rightarrow AC \bot CB$
Vì $SA$ vuông góc với đáy $ \Rightarrow SA \bot CB$
$ \Rightarrow CB \bot (SAC)$; Mà $CB \subset (SCB)$
$ \Rightarrow (SBC) \bot (SAC)$
Trong mặt phẳng $(SAC)$ kẻ, $AH \bot SC$, $H \in SC$
$ \Rightarrow AH \bot (SCB)$$ \Rightarrow d(A,(SCB)) = AH$
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta có $AC = \sqrt {A{B^2} - B{C^2}} = a\sqrt 3 $
Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao
$ \Rightarrow $ $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{4}{{9{a^2}}}$$ \Rightarrow AH = \frac{{3a}}{2}$
Ta có $AM \cap (SBC) = B$ và $BM = \frac{1}{2}BA$
$ \Rightarrow d(M,(SBC)) = \frac{1}{2}d(A,(SBC)) = \frac{1}{2}.\frac{{3a}}{2} = \frac{{3a}}{4}$