Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, E là điểm thuộc cạnh bên SD sao cho $SD=3SE$ . F là trọng tâm tam giác $SAB,\,G$ là điểm

Duong Thuy Linh

New member
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, E là điểm thuộc cạnh bên SD sao cho $SD=3SE$ . F là trọng tâm tam giác $SAB,\,G$ là điểm thay đổi trên cạnh BC. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng $\left( EFG \right)$ là:
C. Tam giác
B. Tứ giác
C. Ngũ giác.
D. Lục giác.
 
Đáp án C.
Cách 1:
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, khi đó $S$, $F$, $M$ thẳng hàng.
Trong mặt phẳng $\left( ABCD \right)$, gọi $I$ là giao điểm của $MG$ với $AD$. Khi đó $SI=\left( SMG \right)\cap \left( SAD \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( SMG \right)$, gọi $J$ là giao điểm của $FG$ với $SI$. Ta thấy $J$ thuộc $FG$ nên $J$ thuộc $\left( EFG \right)$. Trong $\left( SAD \right)$, gọi $K$ là giao điểm của $JE$ với $SA$. Trong mặt phẳng $\left( SAB \right)$, gọi $L$ là giao điểm của $KF$ với $AB$.
Trong mặt phẳng $\left( ABCD \right)$, gọi $H$ là giao điểm của $LG$ với $CD$. Trong mặt phẳng $\left( SCD \right)$, gọi $N$ là giao điểm của $EH$ với $SC$.
Ta có: $\left\{ \begin{align}
& \left( EFG \right)\cap \left( ABCD \right)=LG;\left( EFG \right)\cap \left( SBC \right)=GN \\
& \left( EFG \right)\cap \left( SCD \right)=NE;\left( EFG \right)\cap \left( SAD \right)=EK \\
& \left( EFG \right)\cap \left( SAB \right)=KL \\
\end{align} \right.$ .
Vậy ngũ giác $LGNEK$ là thiết diện của hình chóp cắt bởi $\left( EFG \right)$.
Chú ý: Mấu chốt của ví dụ trên là việc dựng được điểm $J$ là giao điểm của $FG$ với $\left( SAD \right)$ (thông qua việc dựng giao tuyến $SI$ của mặt phẳng $\left( SFG \right)$ với mặt phẳng $\left( SAD \right)$). Có thể dựng thiết diện trên bằng nhiều cách với việc dựng giao điểm (khác $E,F,G$) của một trong các đường thẳng $EF,FG$; hoặc $GE$ với một mặt của hình chóp. Sau đây, tôi xin trình bày cách hai, điểm mấu chốt là xác định giao điểm của $EF$ với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$.
Cách 2:
Trong mặt phẳng $\left( SMD \right)$, gọi $P$ là giao điểm của $EF$ với $MD$.
Trong mặt phẳng $\left( ABCD \right)$, gọi $H,L$ là giao điểm của $P,G$ với $CD$, $AB$.
Trong mặt phẳng $\left( SAB \right)$, gọi $K$ là giao điểm của $LF$ với $SA$.
Trong mặt phẳng $\left( SCD \right)$, gọi $N$ là giao điểm của $EH$ với $SC$.
Ta có: $\left\{ \begin{align}
& \left( EFG \right)\cap \left( ABCD \right)=LG;\left( EFG \right)\cap \left( SBC \right)=GN \\
& \left( EFG \right)\cap \left( SCD \right)=NE;\left( EFG \right)\cap \left( SAD \right)=EK \\
& \left( EFG \right)\cap \left( SAB \right)=KL \\
\end{align} \right.$.
Vậy ngũ giác $LGNEK$ là thiết diện của hình chóp cắt bởi $\left( EFG \right)$.