Toán 12 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên miền

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên miền \(D = \left[ {a;b} \right]\) có đồ thị là một đường cong C, người ta có thể tính độ dài C bằng công thức: \(L = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + {{\left( {f'(x)} \right)}^2}} dx}\)
Với thông tin đó, hãy tính độ dài \({L_{(C)}}\) của đường cong C cho bởi \(y = \frac{{{x^2}}}{8} - \ln x\) trên [1;2]
A. \({L_{(C)}} = \frac{3}{8} - \ln 2\)
B. \({L_{(C)}} = \frac{{31}}{{24}} - \ln 4\)
C. \({L_{(C)}} = \frac{3}{8} + \ln 2\)
D. \({L_{(C)}} = \frac{{31}}{{24}} + \ln 4\)

\(f'(x) = \frac{x}{4} - \frac{1}{x}\) nên áp dụng công thức ta có:
\(\sqrt {1 + {{\left( {f'(x)} \right)}^2}} = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{x}{4} - \frac{1}{x}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} \right)}^2}} = \frac{x}{4} + \frac{1}{x}\) với \(x \in \left[ {1;2} \right]\).
Do đó: \({L_{(C)}} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} \right)dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{8} + \ln x} \right)} \right|} _1^2 = \frac{3}{8} + \ln 2\)