Cho hàm số f(x) xác định và đồng biến trên [0;1] và có \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\), công thức tính diện tích hình phẳng được

Cát Nguyễn

New member
Cho hàm số f(x) xác định và đồng biến trên [0;1] và có \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\), công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các hàm số \({y_1} = f\left( x \right);{y_2} = {\left( {f\left( x \right)} \right)^2};{x_1} = 0;{x_2} = 1\) là:
A. \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {f\left( x \right)\left( {1 - f\left( x \right)} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)dx}\)
B. \(\int\limits_0^1 {\left\{ {f\left( x \right) - {{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}} \right\}dx}\)
C. \(\int\limits_0^1 {\left\{ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} - f\left( x \right)} \right\}dx}\)
D. \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left| {f\left( x \right)} \right|\left( {1 - f\left( x \right)} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)dx}\)
 
Công thức tổng quát ứng với
\({y_1} = f\left( x \right);{y_2} = g\left( x \right);{x_1} = a;{x_2} = b\left( {a < b} \right)\)
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}\)
Do \(f\left( x \right)\) đồng biến nên ta có:
\(f\left( x \right) < 1 \Rightarrow x < \frac{1}{2};\,f\left( x \right) \ge 1 \Rightarrow x \ge 1\)
\(\Rightarrow S = \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right) - {{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)} \right|dx}\)
\(= \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left| {f\left( x \right)} \right|\left( {1 - f\left( x \right)} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)dx}\)
Vậy đáp án đúng là D.