Cho hàm số $f(x)$ có $f(3) = 3$ và $f\prime (x) = \frac{x}{{x + 1 - \sqrt {x + 1} }}$, $\forall x > 0$. Khi đó $\int\limits_3^8 f (x){\text{d}}x$ bằng

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 38: Cho hàm số $f(x)$ có $f(3) = 3$ và $f\prime (x) = \frac{x}{{x + 1 - \sqrt {x + 1} }}$, $\forall x > 0$. Khi đó $\int\limits_3^8 f (x){\text{d}}x$ bằng
A. $7$.
B. $\frac{{197}}{6}$.
C. $\frac{{29}}{2}$.
D. $\frac{{181}}{6}$.

Xem thêm: Đề thi tham khảo kỳ thi THPT Quốc Gia 2020
 

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Đáp án: B
Ta có: $f(x) = \int f \prime (x){\text{d}}x = \int {\frac{x}{{x + 1 - \sqrt {x + 1} }}} {\text{d}}x$
Đặt $\sqrt {x + 1} = t$
$ \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow 2t{\text{d}}t = {\text{d}}x$
$ \Rightarrow \int {\frac{x}{{x + 1 - \sqrt {x + 1} }}} {\text{d}}x = \int {\frac{{2t({t^2} - 1)}}{{{t^2} - t}}} {\text{d}}t$$ = \int {\frac{{2t(t - 1)(t + 1)}}{{t(t - 1)}}} {\text{d}}t = \int 2 (t + 1){\text{d}}t = {t^2} + 2t + C$
$ = x + 1 + 2\sqrt {x + 1} + C$
$ \Rightarrow f(x) = x + 1 + 2\sqrt {x + 1} + C$
Ta có $f(3) = 8 + C = 3 \Rightarrow C = - 5$
$ \Rightarrow f(x) = x + 1 + 2\sqrt {x + 1} - 5$
Ta có $$\int\limits_3^8 f (x){\text{d}}x = \int\limits_3^8 {\left( {x + 1 + 2\sqrt {x + 1} - 5} \right)} {\text{d}}x = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x + \frac{4}{3}\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^3}} - 5x} \right)} \right|_0^8 = \frac{{197}}{6}$$