Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{a}{\pi } + {\cos ^2}x\). Tìm tất cả các giá trị của \(a\) để \(f\left( x \right)\) có một nguyên hàm ...

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{a}{\pi } + {\cos ^2}x\). Tìm tất cả các giá trị của \(a\) để \(f\left( x \right)\) có một nguyên hàm \(F\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{4},F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4}\) .
A. \(\pi - 2\).
B. \(\pi - 1\).
C. \(\frac{\pi }{2} - 1\).
D. \(\frac{\pi }{2} - 2\).

Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {\left( {\frac{a}{\pi } + {{\cos }^2}x} \right){\rm{d}}x} = \int {\left[ {\frac{a}{\pi } + \frac{1}{2}\left( {1 + \cos 2x} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \left( {\frac{a}{\pi } + \frac{1}{2}} \right)x + \frac{1}{4}\sin 2x + C\)
Theo giả thiết \(\left\{ \begin{array}{l}F\left( 0 \right) = \frac{1}{4}\\F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = \frac{1}{4}\\\left( {\frac{a}{\pi } + \frac{1}{2}} \right)\frac{\pi }{4} + \frac{1}{4}\sin \frac{\pi }{2} + C = \frac{\pi }{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = \frac{1}{4}\\a = \frac{\pi }{2} - 2\end{array} \right. \Rightarrow a = \frac{\pi }{2} - 2.\)