Cho dãy số xác định như sau

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Cho dãy số (u$_n$) xác định như sau: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_n} = \frac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2},\,\,n \ge 2\end{array} \right.$.
a. Chứng minh rằng (u$_n$) bị chặn dưới bởi 1.
b. Chứng minh rằng (u$_n$) giảm. Suy ra (u$_n$) bị chặn.
Giải​
a. Ta đi chứng minh u$_n$ > 1 với ∀n ∈ N* bằng phương pháp quy nạp.
Ta có: $_1$ = 2 > 1, tức công thức đúng với n = 1.
Giả sử công thức đúng với n = k, tức là u$_k$ > 1, ta đi chứng minh u$_{k+1}$ > 1.
Thật vậy: u$_{k+1}$ = $\frac{{{u_k} + 1}}{2}$ > $\frac{{1 + 1}}{2}$ = 1, đpcm.
Vậy, ta luôn có u$_n$ > 1, ∀n ∈ N*, tức là (u$_n$) bị chặn dưới bởi 1.

b. Ta có thể trình bày theo hai cách sau:
Cách 1:
Xét hiệu: H = u$_{n+1}$ - u$_n$ = $\frac{{{u_n} + 1}}{2}$ - u$_n$
= $\frac{{1 - {u_n}}}{2}$ < $\frac{{1 - 1}}{2}$ = 0.
Vậy, dãy (u$_n$) giảm.

Cách 2: Xét tỉ số: P = $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$
= $\frac{{{u_n} + 1}}{{2{u_n}}}$
= $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{{2{u_n}}}$ < $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = 1
Vậy, dãy (u$_n$) giảm.
Từ đó, suy ra 1 < u$_n$ ≤ 2 với ∀n ∈ N*, do đó (u$_n$) bị chặn.
 

Bình luận bằng Facebook