Cho ba số thực \(a,b,c \in \left( {\frac{1}{4};1} \right).\) Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức

Hàm số mũ | Hàm số lũy thừa | Hàm số mũ và lũy thừa | hàm số loagrit | logarit |
Cho ba số thực \(a,b,c \in \left( {\frac{1}{4};1} \right).\) Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức:
\(P = lo{g_a}\left( {b - \frac{1}{4}} \right) + {\log _b}\left( {c - \frac{1}{4}} \right) + {\log _c}\left( {a - \frac{1}{4}} \right)\)
A. \({P_{\min }} = 3.\)
B. \({P_{\min }} = 6.\)
C. \({P_{\min }} = 3\sqrt 3 .\)
D. \({P_{\min }} = 1.\)

\(\forall x \in \left( {\frac{1}{4};1} \right) \Rightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow 4{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge x - \frac{1}{4}.\)
Khi đó: \({\log _a}\left( {b - \frac{1}{4}} \right) \ge {\log _a}{b^2} = 2{\log _a}b;\,\,{\log _b}\left( {c - \frac{1}{4}} \right) \ge 2{\log _b}c;\,\,{\log _c}\left( {a - \frac{1}{4}} \right) \ge 2{\log _c}a.\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(P \ge 2\left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}c + {{\log }_c}a} \right) \ge 2.3.\sqrt[3]{{{{\log }_a}b.{{\log }_b}c.{{\log }_c}a}} = 6 \Rightarrow {P_{\min }} = 6.\)