Cho 0 < x < y < 1, đặt \(m = \frac{1}{{y - x}}\left( {\ln \frac{y}{{1 - y}} - \ln \frac{x}{{1 - x}}} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hàm số mũ | Hàm số lũy thừa | Hàm số mũ và lũy thừa | hàm số loagrit | logarit |
Cho 0 < x < y < 1, đặt \(m = \frac{1}{{y - x}}\left( {\ln \frac{y}{{1 - y}} - \ln \frac{x}{{1 - x}}} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(m > 4\)
B. \(m < 1\)
C. \(m = 4\)
D. \(m < 2\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \ln \frac{t}{{1 - t}} - 4t\) trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\), ta có \(f'\left( t \right) = \frac{{{{\left( {2t - 1} \right)}^2}}}{{t\left( {1 - t} \right)}} \ge 0;\forall t \in \left( {0;1} \right)\).
Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Với \(x < y \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( y \right)\) \( \Leftrightarrow \ln \frac{x}{{1 - x}} - 4x < \ln \frac{y}{{1 - y}} - 4y\) \( \Leftrightarrow \ln \frac{y}{{1 - y}} - \ln \frac{x}{{1 - x}} > 4\left( {y - x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{y - x}}\left( {\ln \frac{y}{{1 - y}} - \ln \frac{x}{{1 - x}}} \right) > 4\)