chỉnh hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn và có phân biệt thứ tự, trái với tổ hợp là không phân biệt thứ tự. Mong muốn hs hiểu sâu, bài viết này sẽ gồm phương pháp chỉnh hợp nói rõ lý thuyết và những công thức giải nhanh; phần vận dụng gồm các bài tập kèm lời giải chi tiết
1. Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử $\left( {n \ge 1} \right).$
Kết quả của việc lấy $k{\rm{ }}\left( {1 \le k \le n} \right)$ phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
2. Định lí
Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là ${A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}}$
3. Một số qui ước
${0! = 1,{\rm{ }}A_n^0 = 1,{\rm{ }}A_n^n = n! = {P_n}}$
II. VÍ DỤ VẬN DỤNG
Câu 1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài?
A. 15.
B.720.
C.30.
D.360.
Số cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Suy ra có $A_6^4 = 360$ cách. Chọn D.
A. 35.
B.30240.
C.210.
D.21.
Số cách xếp bảy bông hoa khác nhau vào ba lọ hoa khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử. Suy ra có $A_7^3 = 210$ cách. Chọn C.
A. 60.
B.10.
C.15.
D.720.
Số cách cắm 3 bông hoa vào ba lọ hoa khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Suy ra có $A_5^3 = 60$ cách. Chọn A.
A. 15.
B.360.
C.24.
D.17280.
Số cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Suy ra có $A_6^4 = 360$ cách. Chọn B.
A. 15.
B.12.
C.1440.
D.30.
Mỗi cặp sắp thứ tự gồm hai điểm $\left( {A,\,B} \right)$ cho ta một vectơ có điểm đầu A và điểm cuối $B$ và ngược lại. Như vậy, mỗi vectơ có thể xem là một chỉnh hợp chập 2 của tập hợp 6 điểm đã cho. Suy ra có $A_6^2 = 30$ cách. Chọn D.
A. 462.
B.55.
C.55440.
D.11!.5!
Số cách lập danh sách gồm 5 cầu thủ đá 5 quả 11 mét là số các chỉnh hợp chập 5 của 11 phần tử. Vậy có $A_{11}^5 = 55440$. Chọn C.
A. 336.
B.56.
C.24.
D.120.
Số kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí nhất, nhì, ba là số các chỉnh hợp chập 3 của 8 phần tử. Vậy có $A_8^3 = 336$. Chọn A.
A. 210.
B.200.
C.180.
D.150.
Số cách chọn ban thường vụ gồm ba chức vụ Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thường vụ từ 7 người là số các chỉnh hợp chập ba của bảy phần tử. Vậy có $A_7^3 = 210$.
Chọn A.
Chọn A.
A. 2730.
B.2703.
C.2073.
D.2370.
Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì mỗi kết quả ứng với một chỉnh hợp chập ba của 15 phần tử, do đó ta có: $A_{15}^3 = 2730$ kết quả.
Chọn A.
Chọn A.
A. 94109040.
B.94109400.
C.94104900.
D.94410900.
Mỗi kết quả ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 100 phần tử, do đó ta có: $A_{100}^4 = 94109400$ kết quả. Chọn B.
A. 944109.
B.941409.
C.941094.
D.941049.
Vì người giữ vé số 47 trúng giải nhất nên mỗi kết quả ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 99 phần tử, do đó ta có: $A_{99}^3 = 941094$ kết quả. Chọn C.
A. 3766437.
B.3764637.
C.3764367.
D.3764376.
Nếu người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải thì:
* Người giữ vé số 47 có 4 cách chọn giải.
* Ba giải còn lại ứng với một chỉnh hợp chấp 3 của 99 phần tử, do đó ta có $A_{99}^3 = 941094$cách .
Vậy số kết quả bằng $4 \times A_{99}^3 = 4 \times 941094 = 3764376$ kết quả. Chọn D.
* Người giữ vé số 47 có 4 cách chọn giải.
* Ba giải còn lại ứng với một chỉnh hợp chấp 3 của 99 phần tử, do đó ta có $A_{99}^3 = 941094$cách .
Vậy số kết quả bằng $4 \times A_{99}^3 = 4 \times 941094 = 3764376$ kết quả. Chọn D.
A. 15120.
B.${9^5}$.
C.${5^9}$.
D.126.
Mỗi cách xếp số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ các số $1,{\rm{ }}2,{\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}9$ là một chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử. Vậy có $A_9^5 = 15120$. Chọn A.
A. 30420.
B.27162.
C.27216.
D.30240.
Gọi số cần tìm là $\overline {abcde} ,\,a \ne 0$.
* Chọn a có 9 cách.
* Chọn b,c,d,e từ 9 số còn lại có $A_9^4 = 3024$cách.
Vậy có $9 \times 3024 = 27216$. Chọn C.
* Chọn a có 9 cách.
* Chọn b,c,d,e từ 9 số còn lại có $A_9^4 = 3024$cách.
Vậy có $9 \times 3024 = 27216$. Chọn C.
A. 249.
B.7440.
C.3204.
D.2942.
Ta chia thành các trường hợp sau:
* TH1: Nếu số 123 đứng đầu thì có $A_7^4$ số.
* TH2: Nếu số 321 đứng đầu thì có $A_7^4$ số.
* TH3: Nếu số 123;321 không đứng đầu
Khi đó có 6 cách chọn số đứng đầu ( khác $0;1;2;3$ ), khi đó còn 6 vị trí có 4 cách xếp 3 số 321 hoặc 123, còn lại 3 vị trí có $A_6^3$ cách chọn các số còn lại. Do đó trường hợp này có $6.2.4.A_6^3 = 5760$
Suy ra tổng các số thoả mãn yêu cầu là $2A_7^4 + 5760 = 7440$. Chọn B.
* TH1: Nếu số 123 đứng đầu thì có $A_7^4$ số.
* TH2: Nếu số 321 đứng đầu thì có $A_7^4$ số.
* TH3: Nếu số 123;321 không đứng đầu
Khi đó có 6 cách chọn số đứng đầu ( khác $0;1;2;3$ ), khi đó còn 6 vị trí có 4 cách xếp 3 số 321 hoặc 123, còn lại 3 vị trí có $A_6^3$ cách chọn các số còn lại. Do đó trường hợp này có $6.2.4.A_6^3 = 5760$
Suy ra tổng các số thoả mãn yêu cầu là $2A_7^4 + 5760 = 7440$. Chọn B.
Sửa lần cuối: