Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng thực chất là ta xác định góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Chúng ta cùng nhau vào bài viết.
Giả thiết: Cho (P) và (Q) giao nhau tại giao tuyến AB. Tìm góc giữa (P) và (Q)
Ví dụ: Cho chóp SABCD, SA vuông với đáy, góc tạo bởi (SAB)và (SBC) là 60$^0$. ABCD là hình bình hành. Xác định góc tạo bởi (SAB) và (SBC)
+Ta có:
+Ta có
Chú ý:
Vì $\left\{ \begin{array}{l} EF \subset \left( {SEF} \right)\\ BC \subset \left( {SBC} \right)\\ EF {\rm{//}} BC \end{array} \right. $ $⇒$ giao tuyến của $\left( {SEF} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là đường thẳng qua $S$, song song với $BC$, là $St.$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} BC \bot AB\\ BC \bot SA\left( {vì SA \bot \left( {ABC} \right)} \right) \end{array} \right. $ $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$ $ \Rightarrow BC \bot SB$ hay $St \bot SB.$
Tương tự $EF \bot \left( {SAE} \right)$ $ \Rightarrow EF \bot SE$ mà $EF {\rm{//}} St$ $ \Rightarrow St \bot SE.$
Vậy $SB$ và $SE$ cùng đi qua $S$ và cùng vuông góc với $St$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SEF} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $SE.$
Ta tính góc $\widehat {BSE}.$
Có $SE = \sqrt {S{A^2} + A{E^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$; $SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 2 $; $BE = \frac{a}{2}.$
Theo định lí $cosin$ ta có: $\cos \widehat {BSE} = \frac{{S{E^2} + S{B^2} – B{E^2}}}{{2.SE.SB}}$ $ = \frac{3}{{\sqrt {10} }}$ $ \Rightarrow \widehat {BSE} = \arccos \frac{3}{{\sqrt {10} }}.$
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, SA vuông góc với $\left( {ABCD} \right)$ và $SA = a\sqrt 3 .$ Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SCD} \right).$
Dựng đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $\left( {SCD} \right).$
Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ dựng $AH \bot CD$ tại $H$ $ \Rightarrow CD \bot \left( {SAH} \right).$
Trong mặt phẳng $\left( {SAH} \right)$ dựng $AP \bot SH$ $ \Rightarrow CD \bot AP$ $ \Rightarrow AP \bot \left( {SCD} \right).$
Dựng đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $\left( {SBC} \right).$
Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ dựng $AQ \bot SC.$
Lại có $AQ \bot BC$ vì $\left\{ \begin{array}{l} BC \bot AC\\ BC \bot SA \end{array} \right.$ $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)$ $ \Rightarrow BC \bot AQ.$
Vậy $AQ \bot \left( {SBC} \right).$
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng ấy là $AP$ và $AQ.$
Ta tính góc $\widehat {PAQ}$, có $AH = \sqrt {A{D^2} – H{D^2}} $ $ = \sqrt {{a^2} – \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
$ \Rightarrow \frac{1}{{A{P^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}}$ $ \Rightarrow AP = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }}.$
Tam giác $SAC$ vuông cân tại $A$ $ \Rightarrow AQ = \frac{{SC}}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.$
$\Delta APQ$ vuông tại $P$ $ \Rightarrow \cos \widehat {PAQ} = \frac{{AP}}{{AQ}} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}$ $ \Rightarrow \widehat {PAQ}$ $ = \arccos \frac{{\sqrt {10} }}{5}.$
Cơ sở lý thuyết xác định góc giữa hai mặt phẳng
Giả thiết: Cho (P) và (Q) giao nhau tại giao tuyến AB. Tìm góc giữa (P) và (Q)
- Bước 1: Xác định giao tuyến của (P) và (Q) => AB
- Bước 2: từ P lấy 1 điểm M bất kì, kẻ MH vuông góc mặt phẳng (Q)
- Bước 3: từ H kẻ HK vuông góc với AB
- Bước 4: Nối MK, ta được MKH là góc tạo bởi (P) và (Q)
Ví dụ cách xác định góc giữa hai mặt phẳng
Ví dụ: Cho chóp SABCD, SA vuông với đáy, góc tạo bởi (SAB)và (SBC) là 60$^0$. ABCD là hình bình hành. Xác định góc tạo bởi (SAB) và (SBC)
Hướng dẫn
- Bước 1: Xác định giao tuyến là của 2 mặt phẳng là SB => Vậy ở mặt phẳng (SAB) ta còn điểm A, mặt phẳng(SBC) ta còn C
- Bước 2: Từ C kẻ CH ⊥ AB
- Bước 3: Từ H kẻ HK ⊥ SB
- từ C kẻ CH ⊥ AB
- từ H kẻ HK ⊥ SB
- Nối CK
+Ta có:
- CH ⊥ AB (1)
- CH vuông góc SA ( SA vuông góc với đáy) (2)
- Từ (1) và (2) => CH vuông góc với (SAB)
- HK vuông góc SB (3)
- CH vuông góc SB (4)
- Từ (3) và (4) => SB vuông góc (CHK)
+Ta có
- (SAB) giao (SBC) tại SB
- CK ⊥ SB
- HK ⊥ SB
Chú ý:
- Sau khi xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng, chúng ta còn chừa ra 2 điểm nằm trên mỗi một mặt ( như bài toán vừa rồi, (SAB) giao (SBC) tại SB => còn điểm A ở (SAB) và C ở (SBC).
- Hãy chọn điểm không phải là chân đường cao. VD như trong bài là điểm C để kẻ vuông góc tới mặt phẳng còn lại.
- Bước 1: Xác định giao tuyến
- Bước 2: Từ 1 trong 2 điểm còn lại trên mỗi mặt phẳng, tung 1 nét vẽ vuông góc tới mặt phẳng kia. Cắt mặt phẳng kia tại H
- Bước 3: Từ H kẻ HK vuông góc tới giao tuyến
- Bước 4: Nối K với điểm đã chọn. Góc cần tìm nằm tại K
Hướng dẫn
Nhận xét: Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SEF} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là đường thẳng $St$ đi qua $S$ và song song với $EF$ và $BC$ nên ta xác định hai đường thẳng qua $S$ và lần lượt nằm trong hai mặt phẳng $\left( {SEF} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ và cùng vuông góc với $St$ (ta đi chứng minh hai đường thẳng đó là $SE$ và $SB$).Vì $\left\{ \begin{array}{l} EF \subset \left( {SEF} \right)\\ BC \subset \left( {SBC} \right)\\ EF {\rm{//}} BC \end{array} \right. $ $⇒$ giao tuyến của $\left( {SEF} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là đường thẳng qua $S$, song song với $BC$, là $St.$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} BC \bot AB\\ BC \bot SA\left( {vì SA \bot \left( {ABC} \right)} \right) \end{array} \right. $ $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$ $ \Rightarrow BC \bot SB$ hay $St \bot SB.$
Tương tự $EF \bot \left( {SAE} \right)$ $ \Rightarrow EF \bot SE$ mà $EF {\rm{//}} St$ $ \Rightarrow St \bot SE.$
Vậy $SB$ và $SE$ cùng đi qua $S$ và cùng vuông góc với $St$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SEF} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $SE.$
Ta tính góc $\widehat {BSE}.$
Có $SE = \sqrt {S{A^2} + A{E^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$; $SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 2 $; $BE = \frac{a}{2}.$
Theo định lí $cosin$ ta có: $\cos \widehat {BSE} = \frac{{S{E^2} + S{B^2} – B{E^2}}}{{2.SE.SB}}$ $ = \frac{3}{{\sqrt {10} }}$ $ \Rightarrow \widehat {BSE} = \arccos \frac{3}{{\sqrt {10} }}.$
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, SA vuông góc với $\left( {ABCD} \right)$ và $SA = a\sqrt 3 .$ Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SCD} \right).$
Hướng dẫn
Vì $ABCD$ là nửa lục giác đều nên $AD = DC = CB = a.$Dựng đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $\left( {SCD} \right).$
Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ dựng $AH \bot CD$ tại $H$ $ \Rightarrow CD \bot \left( {SAH} \right).$
Trong mặt phẳng $\left( {SAH} \right)$ dựng $AP \bot SH$ $ \Rightarrow CD \bot AP$ $ \Rightarrow AP \bot \left( {SCD} \right).$
Dựng đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $\left( {SBC} \right).$
Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ dựng $AQ \bot SC.$
Lại có $AQ \bot BC$ vì $\left\{ \begin{array}{l} BC \bot AC\\ BC \bot SA \end{array} \right.$ $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)$ $ \Rightarrow BC \bot AQ.$
Vậy $AQ \bot \left( {SBC} \right).$
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng ấy là $AP$ và $AQ.$
Ta tính góc $\widehat {PAQ}$, có $AH = \sqrt {A{D^2} – H{D^2}} $ $ = \sqrt {{a^2} – \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
$ \Rightarrow \frac{1}{{A{P^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}}$ $ \Rightarrow AP = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }}.$
Tam giác $SAC$ vuông cân tại $A$ $ \Rightarrow AQ = \frac{{SC}}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.$
$\Delta APQ$ vuông tại $P$ $ \Rightarrow \cos \widehat {PAQ} = \frac{{AP}}{{AQ}} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}$ $ \Rightarrow \widehat {PAQ}$ $ = \arccos \frac{{\sqrt {10} }}{5}.$
Sửa lần cuối: