Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
I – CÁC TẬP HỢP SỐ ĐÃ HỌC
1. Tập hợp các số tự nhiên
$\mathbb{N}$
$\begin{array}{l}\mathbb{N} = \left\{ {\,0,\,\,1,\,\,2,\,\,3,\,\,...} \right\}\,\,;\\{\mathbb{N}^ * } = \left\{ {\,1,\,\,2,\,\,3,\,\,...} \right\}.\end{array}$

2. Tập hợp các số nguyên $\mathbb{Z}$
$\mathbb{Z} = \left\{ {...,\,\, - \,3,\,\, - \,2,\,\, - \,1,\,\,0,\,\,1,\,\,2,\,\,3,\,\,...} \right\}.$
Các số $ - \,\,1,\,\, - \,2,\,\, - \,3,\,\,...$ là các số nguyên âm.
Vậy $\mathbb{Z}$ gồm các số tự nhiên và các số nguyên âm.

3. Tập hợp các số hữu tỉ $\mathbb{Q}$
Số hữu tỉ biểu diễn được dưới dạng một phân số $\frac{a}{b},$ trong đó $a,\,\,b \in \mathbb{Z},\,\,b \ne 0.$
Hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ biểu diễn cùng một số hữu tỉ khi và chỉ khi $ad = bc.$
Số hữu tỉ còn biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

4. Tập hợp các số thực $\mathbb{R}$
Tập hợp các số thực gồm các số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn và vô hạn không tuần hoàn. Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ.
Tập hợp các số thực gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ.

II – CÁC TẬP HỢP CON THƯỜNG DÙNG CỦA $\mathbb{R}$
các tập hợp con thường gặp.png
Trong toán học ta thường gặp các tập hợp con sau đây của tập hợp các số thực $\mathbb{R}.$
Khoảng $\begin{array}{c}\left( {a;b} \right)\,\,\,\,\,\,\,\, = \left\{ {x \in \mathbb{R}|a < x < b} \right\}\\\left( {a; + \,\infty } \right) = \left\{ {x \in \mathbb{R}|a < x} \right\}\\\left( { - \,\infty ;b} \right) = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x < b} \right\}.\end{array}$
Đoạn $\left[ {a;b} \right] = \left\{ {x \in \mathbb{R}|a \le x \le b} \right\}.$
Nửa khoảng $\begin{array}{c}\left[ {a;b} \right)\,\,\,\,\,\,\,\, = \left\{ {x \in \mathbb{R}|a \le x < b} \right\}\\\left[ {a;b} \right)\,\,\,\,\,\,\,\, = \left\{ {x \in \mathbb{R}|a < x \le b} \right\}\\\left[ {a; + \,\infty } \right) = \left\{ {x \in \mathbb{R}|a \le x} \right\}\\\left( { - \,\infty ;b} \right] = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x \le b} \right\}.\end{array}$


Câu 1. Cho tập $X = \left( { - \infty ;2} \right] \cap \left( { - 6; + \infty } \right).$ Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $X = \left( { - \infty ;2} \right].$
B. $X = \left( { - 6; + \infty } \right).$
C. $X = \left( { - \infty ; + \infty } \right).$
D. $X = \left( { - 6;2} \right].$
Chọn D
Nguồn: 7scv
Câu 2. Tập hợp $\left\{ {2011} \right\} \cap \left[ {2011; + \infty } \right)$ bằng tập hợp nào sau đây?
A. $\left\{ {2011} \right\}$.
B. $\left[ {2011; + \infty } \right)$.
C. $\emptyset $.
D. $\left( { - \infty ;2011} \right]$.
Chọn A.
Nguồn: 7scv
Câu 3. Cho tập $A = \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $A = \left[ { - 1;3} \right) \cap \mathbb{N}.$
B. $A = \left[ { - 1;3} \right) \cap \mathbb{Z}.$
C. $A = \left[ { - 1;3} \right) \cap {\mathbb{N}^*}.$
D. $A = \left[ { - 1;3} \right) \cap \mathbb{Q}.$
Xét các đáp án:
Đáp án A. Ta có $A = \left[ { - 1;3} \right) \cap \mathbb{N} = \left\{ {0;1;2} \right\}$.
Đáp án B. Ta có $A = \left[ { - 1;3} \right) \cap \mathbb{Z} = \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}$.
Đáp án C. Ta có $A = \left[ { - 1;3} \right) \cap {\mathbb{N}^*} = \left\{ {1;2} \right\}$.
Đáp án D. Ta có $A = \left[ { - 1;3} \right) \cap \mathbb{Q}$ là tập hợp các số hữu tỉ trong nửa khoảng $\left[ { - 1;3} \right)$.
Chọn B
Nguồn: 7scv
Câu 4. Cho $A = \left[ {1;4} \right];\;B = \left( {2;6} \right);\;C = \left( {1;2} \right)$. Khi đó, $A \cap B \cap C$ là:
A. $\left[ {1;6} \right).$
B. $\left( {2;4} \right].$
C. $\left( {1;2} \right].$
D. $\emptyset .$
Ta có $A \cap B = \left( {2;4} \right] \Rightarrow A \cap B \cap C = \emptyset $. Chọn D
Nguồn: 7scv
Câu 5. Cho các khoảng $A = \left( { - 2;2} \right);\;B = \left( { - 1; - \infty } \right);\;C = \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)$. Khi đó tập hợp $A \cap B \cap C$ bằng:
A. $\left\{ {x \in \mathbb{R}\left| { - 1 \le x \le \frac{1}{2}} \right.} \right\}.$
B. $\left\{ {x \in \mathbb{R}\left| { - 2 < x < \frac{1}{2}} \right.} \right\}.$
C. $\left\{ {x \in \mathbb{R}\left| { - 1 < x \le \frac{1}{2}} \right.} \right\}.$
D. $\left\{ {x \in \mathbb{R}\left| { - 1 < x < \frac{1}{2}} \right.} \right\}.$
Ta có $A \cap B = \left( { - 1;2} \right) \Rightarrow A \cap B \cap C = \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)$. Chọn D
Nguồn: 7scv
Câu 6. Cho các số thực $a,\;b,\;c,\;d$ và $a < b < c < d$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\left( {a;c} \right) \cap \left( {b;d} \right) = \left( {b;c} \right).$
B. $\left( {a;c} \right) \cap \left( {b;d} \right) = \left[ {b;c} \right].$
C. $\left( {a;c} \right) \cap \left( {b;d} \right] = \left[ {b;c} \right].$
D. $\left( {a;c} \right) \cup \left( {b;d} \right) = \left( {b;d} \right).$
Chọn A.
Nguồn: 7scv
Câu 7. Cho hai tập hợp $A = \left\{ {x \in \mathbb{R},\;x + 3 < 4 + 2x} \right\}$ và $B = \left\{ {x \in \mathbb{R},\;5x - 3 < 4x - 1} \right\}.$ Tìm tất cả các số tự nhiên thuộc cả hai tập A và $B.$
A. 0. và 1.
B. 1.
C. 0.
D. Không có.
Ta có:
$x + 3 < 4 + 2x \Leftrightarrow x > - 1 \Rightarrow A = \left( { - 1; + \infty } \right).$
$5x - 3 < 4x - 1 \Leftrightarrow x < 2 \Rightarrow B = \left( { - \infty ;2} \right).$
$ \Rightarrow A \cap B = \left( { - 1;2} \right)$ => Có hai số tự nhiên thuộc cả hai tập A và B là 0. và 1.
Chọn A.
Nguồn: 7scv
Câu 8. Cho tập $A = \left[ { - 4;4} \right] \cup \left[ {7;9} \right] \cup \left[ {1;7} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $A = \left[ { - 4;9} \right].$
B. $A = \left( { - \infty ; + \infty } \right).$
C. $A = \left( {1;8} \right).$
D. $A = \left( { - 6;2} \right].$
Chọn A.
Nguồn: 7scv
Câu 9. Cho $A = \left( { - \infty ; - 2} \right];\;B = \left[ {3; + \infty } \right);\;C = \left( {0;4} \right)$. Khi đó, $\left( {A \cup B} \right) \cap C$ là:
A. $\left[ {3;4} \right].$
B. $\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left( {3; + \infty } \right).$
C. $\left[ {3;4} \right).$
D. $\left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left[ {3; + \infty } \right).$
Ta có $A \cup B = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right) \Rightarrow \left( {A \cup B} \right) \cap C = \left[ {3;4} \right)$. Chọn C
Nguồn: 7scv
Câu 10. Cho hai tập hợp $A = \left[ { - 4;7} \right]$ và $B = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$. Khi đó $A \cap B$ là:
A. $\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left( {3; + \infty } \right).$
B. $\left[ { - 4; - 2} \right) \cup \left( {3;7} \right].$
C. $\left[ { - 4; - 2} \right) \cup \left( {3;7} \right).$
D. $\left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left[ {3; + \infty } \right).$
Ta có $A \cap B = \left[ { - 4;7} \right] \cap \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right) = \left[ { - 4; - 2} \right) \cup \left( {3;7} \right]$. Chọn B
Nguồn: 7scv
Câu 11. Khẳng định nào sau đây sai?
A. $\mathbb{Q} \cap \mathbb{R} = \mathbb{Q}.$
B. ${\mathbb{N}^*} \cap \mathbb{R} = {\mathbb{N}^*}.$
C. $\mathbb{Z} \cup \mathbb{Q} = \mathbb{Q}.$
D. $\mathbb{N} \cup {\mathbb{N}^*} = \mathbb{N}.$
Chọn C
Nguồn: 7scv
Câu 12. Cho $A = \left( { - 5;1} \right];\;B = \left[ {3; + \infty } \right);\;C = \left( { - \infty ; - 2} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $A \cup B = \left( { - 5; + \infty } \right).$
B. $B \cup C = \left( { - \infty ; + \infty } \right).$
C. $B \cap C = \emptyset .$
D. $A \cap C = \left[ { - 5; - 2} \right].$
Xét các đáp án:
Đáp án A. Ta có $A \cup B = \left( { - 5;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right) = \left( { - 5; + \infty } \right)\backslash \left( {1;3} \right)$.
Đáp án B. Ta có $B \cup C = \left[ {3; + \infty } \right) \cup \left( { - \infty ; - 2} \right) = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\backslash \left[ { - 2;3} \right)$.
Đáp án C. Ta có $B \cap C = \left[ {3; + \infty } \right) \cap \left( { - \infty ; - 2} \right) = \emptyset $.
Đáp án D. Ta có $A \cap C = \left( { - 5;1} \right] \cap \left( { - \infty ; - 2} \right) = \left( { - 5; - 2} \right)$.
Chọn C
Nguồn: 7scv
Câu 13. Sử dụng kí hiệu khoảng để viết các tập hợp sau đây: $E = \left( {4; + \infty } \right)\backslash \left( { - \infty ;2} \right]$.
A. $\left( { - 4;9} \right].$
B. $\left( { - \infty ; + \infty } \right).$
C. $\left( {1;8} \right).$
D. $\left( {4; + \infty } \right).$
Chọn D
Nguồn: 7scv
Câu 14. Cho $A = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {{x^2} - 7x + 6 = 0} \right.} \right\}$ và $B = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {\left| x \right| < 4} \right.} \right\}$. Khi đó:
A. $A \cup B = A.$
B. $A \cap B = A \cup
B.$
C. $A\backslash B \subset A.$
D. $B\backslash A = \emptyset .$
Ta có
${x^2} - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 6\end{array} \right. \Rightarrow A = \left\{ {1;6} \right\}.$
$\left| x \right| < 4 \Rightarrow - 4 < x < 4 \Rightarrow B = \left( { - 4;4} \right).$
Do đó, $A\backslash B = \left\{ 6 \right\} \subset A$. Chọn C
Nguồn: 7scv
Câu 15. Cho $A = \left[ {0;3} \right];\;B = \left( {1;5} \right);\;C = \left( {0;1} \right)$. Khẳng định nào sau đây sai?
A. $A \cap B \cap C = \emptyset .$
B. $A \cup B \cup C = \left[ {0;5} \right).$
C. $\left( {A \cup C} \right)\backslash C = \left( {1;5} \right).$
D. $\left( {A \cap B} \right)\backslash C = \left( {1;3} \right].$
Xét các đáp án:
Đáp án A. Ta có $A \cap B = \left[ {0;3} \right] \cap \left( {1;5} \right) = \left( {1;3} \right] \Rightarrow A \cap B \cap C = \left( {1;3} \right] \cap \left( {0;1} \right) = \emptyset $.
Đáp án B. Ta có $A \cup B = \left[ {0;3} \right] \cup \left( {1;5} \right) = \left[ {0;5} \right) \Rightarrow A \cup B \cup C = \left[ {0;5} \right) \cup \left( {0;1} \right) = \left[ {0;5} \right)$.
Đáp án C. Ta có $A \cup C = \left[ {0;3} \right] \cup \left( {0;1} \right) = \left[ {0;3} \right] \Rightarrow \left( {A \cup C} \right)\backslash C = \left[ {0;3} \right]\backslash \left( {0;1} \right) = \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {1;3} \right]$.
Đáp án D. Ta có $A \cap B = \left( {1;3} \right] \Rightarrow \left( {A \cap B} \right)\backslash C = \left( {1;3} \right]\backslash \left( {0;1} \right) = \left( {1;3} \right]$.
Chọn C
Nguồn: 7scv
Câu 16. Cho $A = \left( { - \infty ;1} \right];\;B = \left[ {1; + \infty } \right);\;C = \left( {0;1} \right]$. Khẳng định nào sau đây sai?
A. $A \cap B \cap C = \left\{ 1 \right\}.$
B. $A \cup B \cup C = \left( { - \infty ; + \infty } \right).$
C. $\left( {A \cup B} \right)\backslash C = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left( {1; + \infty } \right).$
D. $\left( {A \cap B} \right)\backslash C =
C.$
Xét các đáp án:
Đáp án A. Ta có $A \cap B = \left( { - \infty ;1} \right] \cap \left[ {1; + \infty } \right) = \left\{ 1 \right\} \Rightarrow A \cap B \cap C = \left\{ 1 \right\} \cap \left( {0;1} \right] = \left\{ 1 \right\}$.
Đáp án B. Ta có $A \cup B = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right) = \left( { - \infty ; + \infty } \right) \Rightarrow A \cup B \cup C = \left( { - \infty ; + \infty } \right)$.
Đáp án C. Ta có $A \cup B = \left( { - \infty ; + \infty } \right) \Rightarrow \left( {A \cup B} \right)\backslash C = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\backslash \left( {0;1} \right] = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left( {1; + \infty } \right)$
Đáp án D. Ta có $A \cap B = \left\{ 1 \right\} \Rightarrow \left( {A \cap B} \right)\backslash C = \left\{ 1 \right\}\backslash \left( {0;1} \right] = \emptyset $.
Chọn D
Nguồn: 7scv
Câu 17. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. $\left[ { - 1;7} \right] \cap \left( {7;10} \right) = \emptyset .$
B. $\left[ { - 2;4} \right) \cup \left[ {4; + \infty } \right) = \left( { - 2; + \infty } \right).$
C. $\left[ { - 1;5} \right]\backslash \left( {0;7} \right) = \left[ { - 1;0} \right).$
D. $\mathbb{R}\backslash \left( { - \infty ;3} \right] = \left( {3; + \infty } \right).$
Chọn C Ta có $\left[ { - 1;5} \right]\backslash \left( {0;7} \right) = \left[ { - 1;0} \right]$.
Nguồn: 7scv
Câu 18. Cho tập $X = \left[ { - 3;2} \right)$. Phần bù của X trong $\mathbb{R}$ là tập nào trong các tập sau?
A. $A = \left( { - \infty ; - 3} \right).$
B. $B = \left( {3; + \infty } \right).$
C. $C = \left[ {2; + \infty } \right).$
D. $D = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right).$
Ta có ${{\rm{C}}_\mathbb{R}}A = \mathbb{R}\backslash A = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right)$. Chọn D
Nguồn: 7scv
Câu 19. Cho $A = \left\{ {\forall x \in \mathbb{R}\left| {\left| x \right| \ge 5} \right.} \right\}$. Tìm ${{\rm{C}}_\mathbb{R}}A$.
A. ${{\rm{C}}_\mathbb{R}}A = \left( { - 5;5} \right).$
B. ${{\rm{C}}_\mathbb{R}}A = \left[ { - 5;5} \right].$
C. ${{\rm{C}}_\mathbb{R}}A = \left( { - 5;5} \right].$
D. ${{\rm{C}}_\mathbb{R}}A = \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right).$
Ta có $A = \left\{ {\forall x \in \mathbb{R}\left| {\left| x \right| \ge 5} \right.} \right\} = \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right) \Rightarrow {{\rm{C}}_\mathbb{R}}A = \left( { - 5;5} \right)$. Chọn A.
Nguồn: 7scv
Câu 20. Cho tập hợp ${{\rm{C}}_\mathbb{R}}A = \left[ { - 3;\sqrt 8 } \right)$ và ${{\rm{C}}_\mathbb{R}}B = \left( { - 5;2} \right) \cup \left( {\sqrt 3 ;\sqrt {11} } \right)$. Tập ${{\rm{C}}_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right)$ là:
A. $\left( { - 3;\sqrt 3 } \right).$
B. $\emptyset .$
C. $\left( { - 5;\sqrt {11} } \right).$
D. $\left( { - 3;2} \right) \cup \left( {\sqrt 3 ;\sqrt 8 } \right).$
Ta có:
${C_\mathbb{R}}A = \mathbb{R}\backslash A = \left[ { - 3;\sqrt 8 } \right) \Rightarrow A = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left[ {\sqrt 8 ; + \infty } \right)$
${C_\mathbb{R}}B = \mathbb{R}\backslash B = \left( { - 5;2} \right) \cup \left( {\sqrt 3 ;\sqrt {11} } \right) = \left( { - 5;\sqrt {11} } \right) \Rightarrow B = \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {\sqrt {11} ; + \infty } \right).$
$ \Rightarrow A \cap B = \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {\sqrt {11} ; + \infty } \right)$
$ \Rightarrow {C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right) = \mathbb{R}\backslash \left( {A \cap B} \right) = \left( { - 5;\sqrt {11} } \right)$. Chọn C
Nguồn: 7scv
Câu 21. Cho hai tập hợp $A = \left( { - 4;3} \right)$ và $B = \left( {m - 7;m} \right)$. Tìm $m$ để $B \subset A$.
A. $m \le 3.$
B. $m \ge 3.$
C. $m = 3.$
D. $m > 3.$
Điều kiện: $m \in \mathbb{R}$.
Để $B \subset A$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}m - 7 \ge - 4\\m \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 3\\m \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3$. Chọn C
Nguồn: 7scv
Câu 22. Cho số thực $a < 0$ và hai tập hợp $A = \left( { - \infty ;9a} \right)$, $B = \left( {\frac{4}{a}; + \infty } \right)$. Tìm a để $A \cap B \ne \emptyset $.
A. $a = - \frac{2}{3}.$
B. $ - \frac{2}{3} \le a < 0.$
C. $ - \frac{2}{3} < a < 0.$
D. $a < - \frac{2}{3}.$
Để hai tập hợp A và B giao nhau khác rỗng khi và chỉ khi $9a > \frac{4}{a}$
$ \Leftrightarrow 9{a^2} < 4$ (do $a < 0$) $ \Leftrightarrow {a^2} < \frac{4}{9} \Leftrightarrow - \frac{2}{3} < a < 0$. Chọn C
Nguồn: 7scv
Câu 23. Cho hai tập hợp $A = \left[ { - 4;1} \right]$, $B = \left[ { - 3;m} \right]$. Tìm $m$ để $A \cup B = A$.
A. $m \le 1.$
B. $m = 1.$
C. $ - 3 \le m \le 1.$
D. $ - 3 < m \le 1.$
Điều kiện: $m > - 3$.
Để $A \cup B = A$ khi và chỉ khi $B \subset A$, tức là $m \le 1$.
Đối chiếu điều kiện, ta được $ - 3 < m \le 1$. Chọn D
Nguồn: 7scv
Câu 24. Cho hai tập hợp $A = \left( {m - 1;5} \right)\,$ và $B = \left( {3; + \infty } \right)$. Tìm $m$ để $A\backslash B = \emptyset $.
A. $m \ge 4.$
B. $m = 4.$
C. $4 \le m < 6.$
D. $4 \le m \le 6.$
Điều kiện: $m - 1 < 5 \Leftrightarrow m < 6$.
Để $A\backslash B = \emptyset $ khi và chỉ khi $A \subset B$, tức là $3 \le m - 1 \Leftrightarrow m \ge 4$.
Đối chiếu điều kiện, ta được $4 \le m < 6$. Chọn C
Nguồn: 7scv
Câu 25. Cho các tập hợp $A = \left( { - \infty ;m} \right)$ và $B = \left[ {3m - 1;3m + 3} \right]$. Tìm $m$ để $A \subset {C_\mathbb{R}}B$.
A. $m = - \frac{1}{2}.$
B. $m \ge \frac{1}{2}.$
C. $m = \frac{1}{2}.$
D. $m \ge - \frac{1}{2}.$
Ta có ${C_\mathbb{R}}B = \left( { - \infty ;3m - 1} \right) \cup \left( {3m + 3; + \infty } \right)$.
Suy ra $A \subset {C_\mathbb{R}}B \Leftrightarrow m \le 3m - 1 \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{2}$. Chọn B
 
Sửa lần cuối: