Biết rằng mặt phẳng (P) luôn chứa đường thẳng d, tính \(m + n.\)

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Phẳng |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{4}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):mx + 10y + nz - 11 = 0\). Biết rằng mặt phẳng (P) luôn chứa đường thẳng d, tính \(m + n.\)
A. \(m + n = 33\)
B. \(m + n = - 33\)
C. \(m + n = 21\)
D. \(m + n = - 21\)

Các điểm \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( {3;5;7} \right) \in d\).
Vì mặt phẳng (P) luôn chứa đường thẳng d nên \(A,B \in d\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m.1 + 10.2 + n.3 - 11 = 0}\\{m.3 + 10.5 + n.7 - 11 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 27}\\{n = 6}\end{array}} \right. \Rightarrow m + n = - 27 + 6 = - 21.\)