Bảng nguyên hàm hệ thống 72 công thức thường gặp

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Hệ thống những nguyên hàm đầy đủ nhất gồm 72 công thức thường gặp nhất từ căn bản tới nâng cao

1. 72 công thức đầy đủ nhất về nguyên hàm





2. Bài tập ví dụ minh họa các công thức trên


Ví dụ 1: Tìm các nguyên hàm sau:
a) \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \,dx\).
b) \(J = \int\limits {\left( {5{{\sin }^2}x – \sin x + 2} \right)\cos x} \,dx\).

Hướng dẫn

a) \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \,dx\)

\(I = \int\limits {\left( {3{x^2} – 5x – 2} \right)} \,dx = {x^3} – \frac{{5{x^2}}}{2} – 2x + C.\)

b) \(J = \int\limits {\left( {5{{\sin }^2}x – \sin x + 2} \right)\cos x} \,dx\)

Đặt: \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\)

Khi đó: \(J = \int\limits {\left( {5{t^2} – t + 2} \right)} \,dt = \frac{{5{t^3}}}{3} – \frac{{{t^2}}}{2} + 2t + C \\= \frac{5}{3}{\sin ^3}x – \frac{{{{\sin }^2}x}}{2} + 2\sin x + C.\)

Ví dụ 2: Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản, tính nguyên hàm sau:
a) \(I = \int {{x^8}}dx\)
b) \(I=\int \left ( x^2+2x \right )^2dx\)
c) \(I=\int \frac{1}{x^5}dx\)
d) \(I=\int\frac{1}{2x}dx\)
Hướng dẫn

a) \(I = \int {{x^8}dx = \frac{1}{9}{x^9} + C}\)

b) \(I = \int {{{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^2}dx = \int {\left( {{x^4} + 4{x^3} + 4{x^2}} \right)dx = \frac{1}{5}{x^5} + {x^4} + \frac{4}{3}{x^3} + C} }\)

c) \(I = \int {\frac{{dx}}{{{x^5}}} = \int {{x^{ – 5}}dx = \frac{1}{{ – 5 + 1}}{x^{ – 5 + 1}} + C = } } – \frac{1}{4}{x^{ – 4}} + C\)

d) \(I = \int {\frac{{dx}}{{2x}}} = \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{x} = \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + C}\)

Ví dụ 3: Dùng phương pháp đổi biến số tính các nguyên hàm sau:
a) \(I = \int {\sqrt {{x^{2004}} + 1} .{x^{2003}}dx}\)
b) \(I = \int {{e^{{e^x} + x}}dx}\)
c) \(I = \int {{e^{2{x^2} + \ln {\rm{x}}}}dx}\)
d) \(I = \int {\frac{x}{{\sqrt[{10}]{{x + 1}}}}} dx\)
e) \(I=\int {\frac{{\sin x.{{\cos }^3}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}\)

Hướng dẫn

a) Đặt: \(t = {x^{2004}} + 1 \Rightarrow dt = 2004{x^{2003}}dx \Rightarrow {x^{2003}}dx = \frac{1}{{2004}}dt.\)

Từ đó ta được: \(I = \frac{1}{{2004}}\int {\sqrt t dt} = \frac{1}{{2004}}\int {{t^{\frac{1}{2}}}dt} = \frac{1}{{2004}}.\frac{2}{3}{t^{\frac{3}{2}}} + C\)

\(= \frac{1}{{3006}}\sqrt {{t^3}} + C = \frac{1}{{3006}}\sqrt {{{\left( {{x^{2004}} + 1} \right)}^3}} + C\)

b) Ta có: \({e^{{e^x} + x}} = {e^{{e^x}}}.{e^x}\)

Đặt: \({e^x} = t \Rightarrow {e^x}dx = dt\)

Từ đó ta được: \(I = \int {{e^t}dt} = \int {{e^t}dt} = {e^t} + C = {e^{{e^x}}} + C\)

c) Ta có: \(M = \int {{e^{2{x^2}}}.{e^{\ln x}}dx = } \int {{e^{2{x^2}}}.xdx}\)

Đặt: \(2{x^2} = t \Rightarrow 4xdx = dt \Rightarrow xdx = \frac{{dt}}{4}\)

Ta được: \(M = \int {{e^t}\frac{{dt}}{4} = \frac{1}{4}{e^t} + C = \frac{1}{4}{e^{2{x^2}}}} + C.\)

d) \(I = \int {\frac{x}{{\sqrt[{10}]{{x + 1}}}}} dx\)

Đặt: \(\sqrt[{10}]{{x + 1}} = t \Rightarrow x + 1 = {t^{10}} \Rightarrow dx = 10{t^9}dt\)

Ta được: \(\begin{array}{l} N = \int {\frac{{{t^{10}} – 1}}{t}.10{t^9}dt} = 10\int {\left( {{t^{10}} – 1} \right){t^8}dt} \\ = 10\int {\left( {{t^{18}} – {t^8}} \right)dt} = \frac{{10}}{{19}}{t^{19}} – \frac{{10}}{9}{t^9} + C \end{array}\)

\(\, = \frac{{10}}{{19}}\sqrt[{10}]{{{{\left( {x + + 1} \right)}^{19}}}} – \frac{{10}}{9}\sqrt[{10}]{{{{\left( {x + 1} \right)}^9}}} + C\)

e) Ta có:\(I = \int {\frac{{\sin x.{{\cos }^3}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx = \frac{1}{2}\int {\frac{{2\sin x\cos x.{{\cos }^2}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}} } dx = \frac{1}{2}\int {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}.\sin 2xdx}\)

Đặt: \(1 + {\cos ^2}x = t \Rightarrow \sin 2xdx = – dt\)

\(\Rightarrow S = – \frac{1}{2}\int {\frac{{t – 1}}{t}dt} = – \frac{1}{2}\int {dt + \frac{1}{2}\int {\frac{{dt}}{t}} = – \frac{1}{2}t + \frac{1}{2}\ln \left| t \right| + C}\)

Ví dụ 4: Dùng bảng phương pháp nguyên hàm từng phần tính các nguyên hàm sau:
a) \(I = \int {x{\rm{sin2}}xdx}\)
b) \(I = \int {{x^2}{e^{2x}}dx}\)
c) \(I = \int {\left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x}dx}\)
d) \(I = \int {x{{\cos }^2}2xdx}\)

Hướng dẫn

a) Vận dụng công thức nguyên hàm cơ bản ta có
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \sin 2xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = – \frac{1}{2}\cos 2x \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow I = – \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{2}\int {\cos 2xdx} = – \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C\)

b) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2}\\ dv = {e^{2x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 2xdx\\ v = \frac{1}{2}{e^{2x}} \end{array} \right.\)\(\Rightarrow I = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} – \int {x{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} – {I_1}\)

Tính \({I_1} = \int {x{e^{2x}}dx}\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^{2x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = \frac{1}{2}{e^{2x}} \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow {I_1} = \frac{1}{2}x{e^{2x}} – \frac{1}{2}\int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}x{e^{2x}} – \frac{1}{4}{e^{2x}} + C\)

Vậy: \(I = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} – \frac{1}{2}x{e^{2x}} + \frac{1}{4}{e^{2x}} + C = \frac{{\left( {2{x^2} – 2x + 1} \right){e^{2x}}}}{4} + C\)

c) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 2{x^2} + x + 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \left( {4x + 1} \right)dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow I = \left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x} – \int {\left( {4x + 1} \right){e^x}dx}\)

Tính: \({I_1} = \int {\left( {4x + 1} \right){e^x}dx}\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 4x + 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 4dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow {I_1} = \left( {4x + 1} \right){e^x} – 4\int {{e^x}dx} = \left( {4x + 1} \right){e^x} – 4{e^x} + C = \left( {4x – 3} \right){e^x} + C\)

\(\Rightarrow I = \left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x} – \left( {4x – 3} \right){e^x} + C = \left( {2{x^2} – 3x + 4} \right){e^x} + C\)

d) \(\begin{array}{l} I = \int {x{{\cos }^2}2xdx} = \int {x.\frac{{1 + \cos 4x}}{2}} dx\\ = \frac{1}{2}\int {xdx} + \int {\frac{1}{2}x\cos 4xdx} = \frac{1}{4}{x^2} + {I_1} \end{array}\)

Tính \({I_1} = \int {\frac{1}{2}x\cos 4xdx}\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \frac{1}{2}x\\ dv = \cos 4xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{2}dx\\ v = \frac{1}{4}\sin 4x \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow {I_1} = \frac{1}{8}x\sin 4x – \frac{1}{8}\int {\sin 4xdx} = \frac{1}{8}x\sin 4x + \frac{1}{{32}}\cos 4x + C\)

Vậy: \(I = \frac{1}{4}{x^2} + \frac{1}{8}x\sin 4x + \frac{1}{{32}}\cos 4x + C\)

Trên đây là các công thức nguyên hàm, chúc các bạn thành công!
 
Sửa lần cuối: