Ta cần chú ý: Khi giải các bài toán liên quan đến năng suất thì liên hệ giữa ba đại lượng là: Khối lượng công việc = năng suất lao động \( \times \)thời gian
Ví dụ 1) Một công ty dự định điều động một số xe để chuyển 180 tấn hàng từ cảng Dung Quất vào thành phố Hồ Chí Minh, mỗi xe chở khối lượng hàng như nhau. Nhưng do nhu cầu thực tế cần chuyển thêm 28 tấn hàng nên công ty đó phải điều động thêm một xe cùng loại và mỗi xe bây giờ phải chở thêm 1 tấn hàng mới đáp ứng được nhu cầu đặt ra. Hỏi theo dự định công ty đó cần điều động bao nhiêu xe? Biết rằng mỗi xe không chở quá 15 tấn. (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 Tỉnh Quảng Ngãi 2015)
Lời giải:
Gọi \(x\) (tấn) là số tấn hàng trong thực tế mà mỗi xe phải chở (ĐK: \(1 < x \le 15,x \in \mathbb{N}\))
\( \Rightarrow x - 1\) là số tấn hàng mỗi xe phải chở theo dự định.
Số xe thực tế phải điều động là: \(\frac{{180 + 28}}{x}\) (xe)
Số xe cần điều động theo dự định là: \(\frac{{180}}{{x - 1}}\) (xe)
Vì vậy số xe thực tế nhiều hơn dự định là 1 xe nên ta có phương trình:
\(\frac{{208}}{x} - \frac{{180}}{{x - 1}} = 1 \Leftrightarrow 208x - 208 - 180x = {x^2} - x \Leftrightarrow {x^2} - 29x + 208 = 0\)
\( \Rightarrow {x_1} = 13\) (tm) hoặc \({x_2} = 16\) (loại vì \(x \le 15\))
Vậy theo dự định cần điều động: \(\frac{{180}}{{x - 1}} = \frac{{180}}{{13 - 1}} = 15\) (xe).
Ví dụ 2) Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” một đôi tàu dự định chở 280 tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định. vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và mỗi tàu chở ít hơn dự định 2 tấn hàng. Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu chiếc tàu, biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau.(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2015)
Lời giải: Gọi \(x\) (chiếc) là số tàu dự định của đội \(\left( {x \in \mathbb{N}*,x < 140} \right)\)
Số tàu tham gia vận chuyển là \(x + 1\) (chiếc)
Số tấn hàng trên mỗi chiếc theo dự định \(\frac{{280}}{x}\) (tấn)
Số tấn hàng trên mỗi chiếc thực tế \(\frac{{286}}{{x + 1}}\) (tấn)
Theo bài ra ta có phương trình: \(\frac{{280}}{x} - \frac{{286}}{{x + 1}} = 2\)
\( \Leftrightarrow 280\left( {x + 1} \right) - 286x = 2x\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 140 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\\x = - 14(l)\end{array} \right.\). Vậy đội tàu lúc đầu có 10 chiếc tàu.
Ví dụ 3. Một công nhân theo kế hoạch phải làm 85 sản phẩm trong một khoảng thời gian dự định. Nhưng do yêu cầu đột xuất, người công nhân đó phải làm 96 sản phẩm. Do người công nhân mỗi giờ đã làm tăng thêm 3 sản phẩm nên người đó đã hoàn thnahf công việc sớm hơn so với thời gian dự định là 20 phút. Tính xem theo dự định mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm, biết rằng mỗi giờ chỉ làm được không quá 20 sản phẩm.
Lời giải:
Gọi số sản phẩm công nhân dự định làm trong một giờ là \(x\left( {0 < x \le 20} \right)\).
Thời gian dự kiến người đó làm xong 85 sản phẩm là \(\frac{{85}}{x}\) (giờ)
Thực tế mỗi giờ làm tăng thêm 3 sản phẩm nên số sản phẩm làm được mỗi giờ là \(x + 3\).
Do đó 96 sản phẩm được làm trong \(\frac{{96}}{{x + 3}}\) (giờ)
Thời gian hoàn thành công việc thực tế sớm hơn so với dự định là 20 phút \( = \frac{1}{3}\) giờ nên ta có phương trình \(\frac{{85}}{x} - \frac{{96}}{{x + 3}} = \frac{1}{3}\)
Giải phương trình ta được \(x = 15\) hoặc \(x = - 51\)
Đối chiếu điều kiện ta loại nghiệm \(x = - 51\).
Theo dự định mỗi giờ người đó phải làm 15 sản phẩm.
Ví dụ 1) Một công ty dự định điều động một số xe để chuyển 180 tấn hàng từ cảng Dung Quất vào thành phố Hồ Chí Minh, mỗi xe chở khối lượng hàng như nhau. Nhưng do nhu cầu thực tế cần chuyển thêm 28 tấn hàng nên công ty đó phải điều động thêm một xe cùng loại và mỗi xe bây giờ phải chở thêm 1 tấn hàng mới đáp ứng được nhu cầu đặt ra. Hỏi theo dự định công ty đó cần điều động bao nhiêu xe? Biết rằng mỗi xe không chở quá 15 tấn. (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 Tỉnh Quảng Ngãi 2015)
Lời giải:
Gọi \(x\) (tấn) là số tấn hàng trong thực tế mà mỗi xe phải chở (ĐK: \(1 < x \le 15,x \in \mathbb{N}\))
\( \Rightarrow x - 1\) là số tấn hàng mỗi xe phải chở theo dự định.
Số xe thực tế phải điều động là: \(\frac{{180 + 28}}{x}\) (xe)
Số xe cần điều động theo dự định là: \(\frac{{180}}{{x - 1}}\) (xe)
Vì vậy số xe thực tế nhiều hơn dự định là 1 xe nên ta có phương trình:
\(\frac{{208}}{x} - \frac{{180}}{{x - 1}} = 1 \Leftrightarrow 208x - 208 - 180x = {x^2} - x \Leftrightarrow {x^2} - 29x + 208 = 0\)
\( \Rightarrow {x_1} = 13\) (tm) hoặc \({x_2} = 16\) (loại vì \(x \le 15\))
Vậy theo dự định cần điều động: \(\frac{{180}}{{x - 1}} = \frac{{180}}{{13 - 1}} = 15\) (xe).
Ví dụ 2) Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” một đôi tàu dự định chở 280 tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định. vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và mỗi tàu chở ít hơn dự định 2 tấn hàng. Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu chiếc tàu, biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau.(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2015)
Lời giải: Gọi \(x\) (chiếc) là số tàu dự định của đội \(\left( {x \in \mathbb{N}*,x < 140} \right)\)
Số tàu tham gia vận chuyển là \(x + 1\) (chiếc)
Số tấn hàng trên mỗi chiếc theo dự định \(\frac{{280}}{x}\) (tấn)
Số tấn hàng trên mỗi chiếc thực tế \(\frac{{286}}{{x + 1}}\) (tấn)
Theo bài ra ta có phương trình: \(\frac{{280}}{x} - \frac{{286}}{{x + 1}} = 2\)
\( \Leftrightarrow 280\left( {x + 1} \right) - 286x = 2x\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 140 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\\x = - 14(l)\end{array} \right.\). Vậy đội tàu lúc đầu có 10 chiếc tàu.
Ví dụ 3. Một công nhân theo kế hoạch phải làm 85 sản phẩm trong một khoảng thời gian dự định. Nhưng do yêu cầu đột xuất, người công nhân đó phải làm 96 sản phẩm. Do người công nhân mỗi giờ đã làm tăng thêm 3 sản phẩm nên người đó đã hoàn thnahf công việc sớm hơn so với thời gian dự định là 20 phút. Tính xem theo dự định mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm, biết rằng mỗi giờ chỉ làm được không quá 20 sản phẩm.
Lời giải:
Gọi số sản phẩm công nhân dự định làm trong một giờ là \(x\left( {0 < x \le 20} \right)\).
Thời gian dự kiến người đó làm xong 85 sản phẩm là \(\frac{{85}}{x}\) (giờ)
Thực tế mỗi giờ làm tăng thêm 3 sản phẩm nên số sản phẩm làm được mỗi giờ là \(x + 3\).
Do đó 96 sản phẩm được làm trong \(\frac{{96}}{{x + 3}}\) (giờ)
Thời gian hoàn thành công việc thực tế sớm hơn so với dự định là 20 phút \( = \frac{1}{3}\) giờ nên ta có phương trình \(\frac{{85}}{x} - \frac{{96}}{{x + 3}} = \frac{1}{3}\)
Giải phương trình ta được \(x = 15\) hoặc \(x = - 51\)
Đối chiếu điều kiện ta loại nghiệm \(x = - 51\).
Theo dự định mỗi giờ người đó phải làm 15 sản phẩm.