Toán 12 Bài tập trắc nghiệm về tính đơn điệu của Hàm Số trích đề thi thử trường chuyên (phần 16)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Xin giới thiệu: Bài tập trắc nghiệm về tính đơn điệu của Hàm Số trích đề thi thử trường chuyên (phần 16)
Câu 1:
Tìm m để hàm số \(y = {x^3} + 2{x^2} - mx + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}?\)
A. \(m > - \frac{4}{3}\)
B. \(m \ge - \frac{4}{3}\)
C. \(m \le - \frac{4}{3}\)
D. \(m < - \frac{4}{3}\)
Hàm số \(y = {x^3} + 2{x^2} - mx + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi: \(y' = 3{x^2} + 4x - m \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3 > 0}\\{\Delta ' = 4 + 3m \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \le - \frac{4}{3}.\)
Câu 2:
Hàm số \(y = x + \frac{4}{x}\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. \(\left( {0; + \infty } \right)\).
B. \(\left( { - 2;2} \right)\).
C. \(\left( { - 2;0} \right)\).
D. \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\)
Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2}}}\).
Cho \(y' = 0\)\( \Rightarrow x = \pm 2\).
đồng biến trên khoảng nào dưới đây 123.png

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Câu 3:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 2m} \right)x - 3\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
A. \(\left[ { - 1; + \infty } \right)\).
B. \(\left( { - \infty ;0} \right]\).
C. \(\left[ {0;1} \right]\).
D. \(\left[ { - 1;0} \right]\).
Ta có: \(y' = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2m;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = m + 2\end{array} \right.\).
Do đó ta có bảng biến thiên:
Để hàm số nghịch biến trên.png

Để hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;1} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}m \le 0\\m + 2 \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le m \le 0\).
Câu 4:
Hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 1\) đồng biến trên khoảng nào?
A. \(\left( { - \infty ,1} \right)\).
B. \(\left( { - \infty ; + \infty } \right).\)
C. \(\left( {2, + \infty } \right)\).
D. \(\mathbb{R}\).
Ta có \(y' = - 3{x^2} + 6x\), \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).
đồng biến trên khoảng nào 4.png

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( {0,2} \right)\).
Câu 5:
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + mx + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
A. \(m > \frac{1}{3}\)
B. \(m \ge \frac{1}{3}\)
C. \(m \le \frac{1}{3}\)
D. \(m < \frac{1}{3}\)
Ta có \(y' = 3{x^2} + 2x + m\) có \(\Delta = {2^2} - 4.3.m = 4 - 12m\)
Hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + mx + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi: \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta \le 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{3}.\)
Câu 6:
Cho hàm số \(y = x\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) - \sqrt {1 + {x^2}} .\) Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số có tập xác định là \(D = \mathbb{R}.\)
B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\)
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\)
D. Hàm số có đạo hàm là \(y' = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right).\)
Hàm số xác định \(D = \mathbb{R} \Rightarrow y' = \left[ {x\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) - \sqrt {1 + {x^2}} } \right]' = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}y' > 0 \Leftrightarrow \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) > 0 \Leftrightarrow x + \sqrt {1 + {x^2}} > 1 \Leftrightarrow x > 0\\y' < 0 \Leftrightarrow \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < x + \sqrt {1 + {x^2}} < 1 \Leftrightarrow x < 0\end{array} \right.\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right).\)
Câu 7:
Cho hàm số \(y = \frac{{m{\rm{x}} - 2}}{{x + m - 3}}.\) Tất cả các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó là:
A. \(1 \le m \le 2.\)
B. \(m = 1.\)
C. \(1 < m < 2.\)
D. \(m = 2.\)
Ta có: \(y' = \frac{{{m^2} - 3m + 2}}{{{{\left( {x + m - 3} \right)}^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\)
Khi đó hàm số đã cho trở thành hàm hằng.
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi:
\(y' < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 2.\)
Câu 8:
Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. \(\left( { - 1;1} \right)\)
B. \(\left( { - \infty ;1} \right)\)
C. \(\left( {0;2} \right)\)
D. \(\left( {2; + \infty } \right)\)
\(\begin{array}{l}y = {x^3} - 3{x^2}\\ \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x;y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\end{array}\)
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng.png

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)
Câu 9:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = mx - \left( {m + 1} \right).\cos x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
A. Không có m
B. \( - 1 \le m \le - \frac{1}{2}\)
C. \(m < - \frac{1}{2}\)
D. \(m > - 1\)
\(y = mx - \left( {m + 1} \right)\cos x \Rightarrow y' = m + \left( {m + 1} \right)\sin x\)
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)thì \(y' \ge 0\) với mọi m khi \(m + \left( {m + 1} \right)\sin x \ge 0\)với điều kiện y’=0 tại một số hữu hạn điểm.
\(m + \left( {m + 1} \right)\sin x \ge 0 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right).\sin x \ge - m\)
+ Với \(m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1,\) ta có: \(Sinx \ge - \frac{m}{{m + 1}}\)
Xét hàm số:
\(\begin{array}{l}f(m) = \frac{{ - m}}{{m + 1}},m > - 1\\f'(m) = \frac{{ - 2}}{{{{(m + 1)}^2}}} < 0\end{array}\)
Bảng biến thiên:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số.png

Vậy không tồn tại giá trị m>-1 thỏa yêu cầu bài toán (1)
+ Với \(m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - 1,\) ta có: \(Sinx \le - \frac{m}{{m + 1}}\)
Xét hàm số:
\(\begin{array}{l}f(m) = \frac{{ - m}}{{m + 1}},m < - 1\\f'(m) = \frac{{ - 2}}{{{{(m + 1)}^2}}} < 0\end{array}\)
Bảng biến thiên:

Vậy không tồn tại m<- thỏa yêu cầu bài toán.
+ Với m=-1, hàm số trở thành: y=x, không đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Vậy không có m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 10:
Cho hàm số \(y = - \frac{1}{4}{x^4} + 2{x^2} - 1\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\)
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)
Ta có: \(y' = \left( { - \frac{1}{4}{x^4} + 2{x^2} - 1} \right) = - {x^3} + 4x;\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\\x = 2\end{array} \right.\)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng.png

Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\), đồng biến trên các khoảng \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( { - \infty ; - 2} \right).\)