Xin giới thiệu: Bài tập trắc nghiệm về tính đơn điệu của Hàm Số trích đề thi thử trường chuyên (phần 15)
Câu 1:
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x - \frac{1}{3}\).Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. (1; 3)
B. (-1; 1)
C. (-1; 0)
D. (0; 3)
Câu 2:
Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 3} - x\ln x\). Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [1;2]. Tính M.N.
A. \(M.N = 2\sqrt 7 + 4\ln 5\)
B. \(M.N = 2\sqrt 7 - 4\ln 2\)
C. \(M.N = 2\sqrt 7 - 4\ln 5\)
D. \(M.N = 2\sqrt 7 + 4\ln 2\)
Câu 3:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{\sin x + m}}{{\sin x - m}}\) nghịch biến trên \(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right).\)
A. \(m\leq 0\) hoặc \(m\geq 1\)
B. m > 0
C. \(0<m\leq 1\)
D. \(m\geq 1\)
Câu 4:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\)
A. \(\left[ { - 2;\frac{1}{2}} \right).\)
B. \(\left( { - 2;\frac{1}{2}} \right).\)
C. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right].\)
D. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right).\)
Câu 5:
Cho hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 2017.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;0).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; - 1).\)
Câu 6:
Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = m\sin x + 7x - 5m + 3\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
A. \(m \le - 7\)
B. \( - 7 \le m \le 7\)
C. \(m \ge 7\)
D. \(m \le - 1\)
Câu 7:
Cho hàm số \(y = \frac{{3 - x}}{{x + 1}}.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)
B. Hàm số nghịch biến với mọi \(x \ne - 1\)
C. Hàm số nghịch biến trên tập \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)
Câu 8:
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{{\rm{x}}^2} + 4.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right).\)
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right).\)
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Câu 9:
Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} - \left( {m - 3} \right)x + 2017m\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\) và \(\left( {0;3} \right)\) là đoạn \(T = \left[ {a;b} \right).\) Tính \({a^2} + {b^2}.\)
A. \({a^2} + {b^2} = 10.\)
B. \({a^2} + {b^2} = 13.\)
C. \({a^2} + {b^2} = 8.\)
D. \({a^2} + {b^2} = 5.\)
Câu 10:
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 3\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;0} \right)\)
B. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
C. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\)
D. Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Câu 1:
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x - \frac{1}{3}\).Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. (1; 3)
B. (-1; 1)
C. (-1; 0)
D. (0; 3)
Ta có \(y' = {x^2} - 4x + 3 \Rightarrow y' < 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 < 0\)
\(\Leftrightarrow (x - 1)(x - 3) < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 3\)
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3).
\(\Leftrightarrow (x - 1)(x - 3) < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 3\)
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3).
Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 3} - x\ln x\). Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [1;2]. Tính M.N.
A. \(M.N = 2\sqrt 7 + 4\ln 5\)
B. \(M.N = 2\sqrt 7 - 4\ln 2\)
C. \(M.N = 2\sqrt 7 - 4\ln 5\)
D. \(M.N = 2\sqrt 7 + 4\ln 2\)
Ta có \(y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 3} - x\ln x} \right)' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} - (\ln x + 1)\)
Với \(x\in \left [ 1;2 \right ]\) ta có: \(y' = \frac{{x - \sqrt {{x^2} + 3} }}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} - \ln x < 0\;(\forall x \in [1;2])\)
Do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=1 và đạt giá trị nhỏ nhất tại x=2.
Do đó \(M.N = f(1).f(2) = 2.\left( {\sqrt 7 - 2\ln 2} \right)\)
Với \(x\in \left [ 1;2 \right ]\) ta có: \(y' = \frac{{x - \sqrt {{x^2} + 3} }}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} - \ln x < 0\;(\forall x \in [1;2])\)
Do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=1 và đạt giá trị nhỏ nhất tại x=2.
Do đó \(M.N = f(1).f(2) = 2.\left( {\sqrt 7 - 2\ln 2} \right)\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{\sin x + m}}{{\sin x - m}}\) nghịch biến trên \(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right).\)
A. \(m\leq 0\) hoặc \(m\geq 1\)
B. m > 0
C. \(0<m\leq 1\)
D. \(m\geq 1\)
\(y = \frac{{\sin x - m + 2m}}{{sinx - m}} = 1 + \frac{{2m}}{{\sin x - m}}\)
\(y' = \frac{{ - 2m\cos x}}{{{{(\sin x - m)}^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2}\)
Ta có: \(\cos x < 0,\forall x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\)
Nên hàm số nghịch biến trên \(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) khi m>0.
\(y' = \frac{{ - 2m\cos x}}{{{{(\sin x - m)}^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2}\)
Ta có: \(\cos x < 0,\forall x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\)
Nên hàm số nghịch biến trên \(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) khi m>0.
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\)
A. \(\left[ { - 2;\frac{1}{2}} \right).\)
B. \(\left( { - 2;\frac{1}{2}} \right).\)
C. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right].\)
D. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right).\)
Ta có: \(y' = \frac{{2m - 1}}{{{{(x + m)}^2}}}\)
Với \(m = \frac{1}{2}\) ta có y’=0. Hàm số đã cho trở thành hàm hằng.
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) khi:
\(y' = \frac{{2m - 1}}{{{{(x + m)}^2}}} < 0,\left( {\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 1 < 0\\ - m < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le m \le \frac{1}{2}.\)
Với \(m = \frac{1}{2}\) ta có y’=0. Hàm số đã cho trở thành hàm hằng.
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) khi:
\(y' = \frac{{2m - 1}}{{{{(x + m)}^2}}} < 0,\left( {\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 1 < 0\\ - m < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le m \le \frac{1}{2}.\)
Cho hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 2017.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;0).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; - 1).\)
Ta có \(y' = - 4{x^3} + 4x = - 4x({x^2} - 1).\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\)
Bảng dấu:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right);\left( {0;1} \right).\)
Nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right);\left( {1; + \infty } \right).\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\)
Bảng dấu:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right);\left( {0;1} \right).\)
Nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right);\left( {1; + \infty } \right).\)
Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = m\sin x + 7x - 5m + 3\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
A. \(m \le - 7\)
B. \( - 7 \le m \le 7\)
C. \(m \ge 7\)
D. \(m \le - 1\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0,\forall x\) . Dấu “=” xảy ra hữu hạn điểm.
\(y' = m\cos x + 7 \ge 0,\forall x \Leftrightarrow m\cos x \ge - 7,\forall x\)
+ Với \(m = 0\) thỏa mãn.
+ Với \(m > 0 \Rightarrow \cos x \ge - \frac{7}{m},\forall x \Leftrightarrow - 1 \ge - \frac{7}{m} \Leftrightarrow m \le 7\)
+ Với \(m < 0 \Rightarrow \cos x \le - \frac{7}{m},\forall x \Leftrightarrow 1 \le - \frac{7}{m} \Leftrightarrow m \ge - 7\)
Kết hợp các kết quả trên có \(m \in \left( { - 7;7} \right).\)
\(y' = m\cos x + 7 \ge 0,\forall x \Leftrightarrow m\cos x \ge - 7,\forall x\)
+ Với \(m = 0\) thỏa mãn.
+ Với \(m > 0 \Rightarrow \cos x \ge - \frac{7}{m},\forall x \Leftrightarrow - 1 \ge - \frac{7}{m} \Leftrightarrow m \le 7\)
+ Với \(m < 0 \Rightarrow \cos x \le - \frac{7}{m},\forall x \Leftrightarrow 1 \le - \frac{7}{m} \Leftrightarrow m \ge - 7\)
Kết hợp các kết quả trên có \(m \in \left( { - 7;7} \right).\)
Cho hàm số \(y = \frac{{3 - x}}{{x + 1}}.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)
B. Hàm số nghịch biến với mọi \(x \ne - 1\)
C. Hàm số nghịch biến trên tập \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)
Ta có: \(y' = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne - 1\)
Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)
Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{{\rm{x}}^2} + 4.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right).\)
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right).\)
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Ta có: \({y'} = 4{{\rm{x}}^3} - 4{\rm{x}} = 4{\rm{x}}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right);\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right..\)
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right).\)
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right).\)
Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} - \left( {m - 3} \right)x + 2017m\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\) và \(\left( {0;3} \right)\) là đoạn \(T = \left[ {a;b} \right).\) Tính \({a^2} + {b^2}.\)
A. \({a^2} + {b^2} = 10.\)
B. \({a^2} + {b^2} = 13.\)
C. \({a^2} + {b^2} = 8.\)
D. \({a^2} + {b^2} = 5.\)
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)
Ta có \(y' = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - \left( {m - 3} \right)\) suy ra phương trình y’=0 có nhiều nhất hai nghiệm trên \(\mathbb{R}.\)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;3) khi \(y' \ge 0,\forall x \in \left( {0;3} \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 1x + 3}}{{2x + 1}} \ge m,\forall x \in \left( {0;3} \right).\)
Xét hàm số \(g(x) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{2x + 1}}\) trên khoảng (0;3) ta có: \(g'(x) = \frac{{2{x^2} + 2x - 4}}{{{{(2x + 1)}^2}}};g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left( {0;3} \right)\\x = - 2 \notin \left( {0;3} \right)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến biến trên khoảng (-3;1) khi \(y' \ge 0,\forall x \in \left( { - 3; - 1} \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 1x + 3}}{{2x + 1}} \le m,\forall x \in \left( { - 3; - 1} \right).\)Từ bảng biến thiên ta thấy \(g(x) \ge m,\forall x \in \left( {0;3} \right) \Leftrightarrow m \le 2.\)
Xét hàm số \(g(x) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{2x + 1}}\) trên khoảng (-3;-1) ta có: \(g'(x) = \frac{{2{x^2} + 2x - 4}}{{{{(2x + 1)}^2}}};g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \notin \left( { - 3; - 1} \right)\\x = - 2 \in \left( { - 3; - 1} \right)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy \(g(x) \le m,\forall x \in \left( { - 3; - 1} \right) \Leftrightarrow m \ge - 1.\)
Do đó: \(m \in \left[ { - 1;2} \right) \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 5.\)
Ta có \(y' = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - \left( {m - 3} \right)\) suy ra phương trình y’=0 có nhiều nhất hai nghiệm trên \(\mathbb{R}.\)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;3) khi \(y' \ge 0,\forall x \in \left( {0;3} \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 1x + 3}}{{2x + 1}} \ge m,\forall x \in \left( {0;3} \right).\)
Xét hàm số \(g(x) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{2x + 1}}\) trên khoảng (0;3) ta có: \(g'(x) = \frac{{2{x^2} + 2x - 4}}{{{{(2x + 1)}^2}}};g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left( {0;3} \right)\\x = - 2 \notin \left( {0;3} \right)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến biến trên khoảng (-3;1) khi \(y' \ge 0,\forall x \in \left( { - 3; - 1} \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 1x + 3}}{{2x + 1}} \le m,\forall x \in \left( { - 3; - 1} \right).\)Từ bảng biến thiên ta thấy \(g(x) \ge m,\forall x \in \left( {0;3} \right) \Leftrightarrow m \le 2.\)
Xét hàm số \(g(x) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{2x + 1}}\) trên khoảng (-3;-1) ta có: \(g'(x) = \frac{{2{x^2} + 2x - 4}}{{{{(2x + 1)}^2}}};g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \notin \left( { - 3; - 1} \right)\\x = - 2 \in \left( { - 3; - 1} \right)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy \(g(x) \le m,\forall x \in \left( { - 3; - 1} \right) \Leftrightarrow m \ge - 1.\)
Do đó: \(m \in \left[ { - 1;2} \right) \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 5.\)
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 3\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;0} \right)\)
B. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
C. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\)
D. Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Ta có \(y' = 4{x^3} - 4x = 4x\left( {{x^2} - 1} \right)\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy: Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) và \(\left( { - 1;0} \right);\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right).\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy: Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) và \(\left( { - 1;0} \right);\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right).\)