Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{1}{{(x + 1)\sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}.$
Giải​
Đặt $t = \frac{1}{{x + 1}}$ thì $x = \frac{1}{t} – 1$ suy ra: $dx = – \frac{1}{{{t^2}}}dt$, $\frac{{dx}}{{(x + 1)\sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}$ $ = \frac{{t\left( { – \frac{1}{{{t^2}}}} \right)dt}}{{\sqrt {\frac{1}{{{t^2}}} + 1} }}$ $ = – \frac{{dt}}{{t\sqrt {\frac{1}{{{t^2}}} + 1} }}$ $ = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – \frac{{dt}}{{\sqrt {1 + {t^2}} }}\:{\rm{khi}}\:t > 0}\\
{\frac{{dt}}{{\sqrt {1 + {t^2}} }}\:{\rm{khi}}\:t < 0}
\end{array}} \right.$
Khi đó ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Với $t>0$, ta được: $\int f (x)dx$ $ = \ln \left| {\frac{{1 – \sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}{{x + 1}}} \right| + C.$
Trường hợp 2: Với $t < 0$. ta được: $\int f (x)dx$ $ = \ln \left| {\frac{{1 – \sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}{{x + 1}}} \right| + C.$
Tóm lại với $t \ne 0 \Leftrightarrow x \ne – 1$ ta luôn có: $\int f (x)dx$ $ = \ln \left| {\frac{{1 – \sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}{{x + 1}}} \right| + C.$
 
Sửa lần cuối: