casio Bài 7: Kỹ thuật casio tìm tương giao giữa hai đồ thị

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
I. KIẾN THỨC NỀN TẢNG
1. Phương pháp đồ thị tìm số nghiệm của phương trình:
Cho phương trình f(x)= g(x) (1), số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f(x)và đồ thị hàm số y= g(x)
Chú ý: Số nghiệm của phương trình f(x=0) là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f(x) và trục hoành
2. Câu toán tìm nghiệm của phương trình chứa tham số: Ta tiến hành cô lập m và đưa phương trình ban đầu về dạng f(x)= m (2) khi đó số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f(x) và đường thẳng y= m .
Chú ý: Đường thẳng y= m có tính chất song song với trục hoành và đi qua điểm có tọa độ (0,m)
3. Lệnh Casio: Để tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao diểm ta dùng lệnh SHIFT SOLVE

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1-[Thi thử chuyên KHTN lần 2]

Tìm tập hợp tất các các giá trị của m để phương trình ${\log _2}x - {\log _2}\left( {x - 2} \right) = m$ có nghiệm :
A. $1 \le m < + \propto $
B. $1 < m < + \propto $
C. $0 \le m < + \propto $
D. $0 < m < + \propto $
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIO
Đặt ${\log _2}x - {\log _2}\left( {x - 2} \right) = f\left( x \right)$ khi đó m= f(x) (1). Để phương trình (1) có nghiệm thì m thuộc miền giá trị của f(x) hay $f\left( {\min } \right) \le m \le f\left( {\max } \right)$
Tới đây bài toán tìm tham số m được quy về bài toán tìm min, max của một hàm số. Ta sử dụng chức năng Mode với miền giá trị của x là Start 2 End 10 Step0.5
tương giao giữa hai đồ thị (1).PNG

  • Quan sát bảng giá trị F(X) ta thấy $f\left( {10} \right) \approx 0.3219$ vậy đáp số A và B sai. Đồng thời khi x càng tăng vậy thì F(X) càng giảm. Vậy câu hỏi đặt ra là F(X) có giảm được về 0 hay không.
  • Ta tư duy nếu F(X) giảm được về 0 có nghĩa là phương trình f(x)=0 có nghiệm. Để kiểm tra dự đoán này ta sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE
tương giao giữa hai đồ thị (2).PNG

Máy tính Casio báo phương trình này không có nghiệm. Vậy dấu = không xảy ra
Tóm lại f(x) $ \Leftrightarrow m > 0$ và D là đáp án chính xác
Cách tham khảo: Tự luận
Điều kiện: x > 2
Phương trình $ \Leftrightarrow m = {\log _2}\left( {\frac{x}{{x - 2}}} \right)$ $ \Leftrightarrow m = {\log _2}\left( {1 + \frac{2}{{x - 2}}} \right)$
Vì x > 2 nên $x - 2 > 0 \Rightarrow 1 + \frac{2}{{x - 2}} > 1$ $ \Rightarrow {\log _2}\left( {1 + \frac{2}{{x - 2}}} \right) > {\log _2}1 = 0$
Vậy $m = \log \left( {1 + \frac{2}{{x - 2}}} \right) > 0$
Bình luận :
  • Một bài toán mẫu mực của dạng tìm tham số m ta giải bằng cách kết hợp chức năng lập bảng giá trị MODE 7 và chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE một cách khéo léo
  • Chú ý: m= f(x) mà f(x) > 0 vậy m > 0 một tính chất bắc cầu hay và thường xuyên gặp
Câu 2-[Thi thử chuyên KHTN –HN lần 2]
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ${x^3} - 3{x^2} + m = 0$ có 3 nghiệm phân biệt
A. $ - 4 < m < 0$
B. $ - 4 \le m \le 0$
C. $0 \le m \le 4$
D. $0 < m < 1$
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIO
Cô lập m, đưa phương trình ban đầu về dạng $m = - {x^3} + 3{x^2}$ . Đặt ${x^3} - 3{x^2} = f\left( x \right)$ khi đó $m = f\left( x \right)$ (1) , số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị y= f(x) và y=m
Để khảo sát hàm số y= f(x) ta sử dụng chức năng MODE 7 Start -2 End 5 Step 0.5
tương giao giữa hai đồ thị (3).PNG

Quan sát bảng giá trị F(X) ta thấy giá trị cực tiểu là 0 và giá trị cực đại là 4 vậy ta có sơ đồ đường đi của f(x) như sau:
tương giao giữa hai đồ thị (4).PNG

Rõ ràng hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt nếu 0< m< 4

Câu 3-[Khảo sát chất lượng chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa]
Cho hàm số $y = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}}$ có đồ thị (C) . Đường thẳng $\left( d \right):y = x + 1$ cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt M, N thì tung độ điểm I của đoạn thẳng MN bằng :
A. -3
B. -2
C. 1
D. 2
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIO
Phương trình hoành độ giao điẻm $\frac{{2x + 2}}{{x - 1}} = x + 1$ . Nhập phương trình này vào máy tính Casio và dò nghiệm :
tương giao giữa hai đồ thị (5).PNG

Ta có ngay 2 nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
{x_1} = 3 \Rightarrow {y_1} = {x_1} + 1 = 4\\
{x_2} = - 1 \Rightarrow {y_2} = {x_2} + 1 = 0
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow {y_I} = \frac{{{y_1} + {y_2}}}{2} = 2$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là D

Câu 4-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số $y = {x^3} + mx + 16$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
A. $m > 12$
B. $m < - 12$
C. $m < 0$
D. Không có m thỏa
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIO
Để đồ thị hàm số $y = {x^3} + mx + 16$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình ${x^3} + mx + 16 = 0$ (1) có 3 nghiệm phân biệt
Với m = 14 sử dụng lệnh giải phương trình bậc 3 MODE 5
tương giao giữa hai đồ thị (6).PNG

Ta thấy nghiệm m = 14 là nghiệm ảo $ \Rightarrow $ không đủ 3 nghiệm thực $ \Rightarrow m = 14$ không thỏa $ \Rightarrow $ A sai
Với m = - 14 sử dụng lệnh giải phương trình bậc 3 MODE 5
tương giao giữa hai đồ thị (7).PNG

Ta thấy ra 3 nghiệm thực $ \Rightarrow $ Đáp án đúng có thể là B hoặc C
Thử thêm một giá trị $m = - 1$ nữa thì thấy $m = - 1$ không thỏa
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là B

Câu 5-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1]
Cho hàm số $y = \frac{1}{2}{x^4} - 3{x^2} + \frac{3}{2}$ có đồ thị là (C). Biết đường thẳng y= - 4x+3 tiếp xúc với (C) tại điểm A và cắt (C) tại điểm B. Tìm tung độ của điểm B
A. 1
B. 15
C. -3
D. -1
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIO
Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm $\frac{1}{2}{x^4} - 3{x^2} + \frac{3}{2} = - 4x + 3$. Sử dụng SHIFT SOLVE để dò 2 nghiệm phương trình trên
tương giao giữa hai đồ thị (8).PNG

Nếu A là tiếp điểm thì $y'\left( {{x_A}} \right) = 0$ , B là giao điểm $ \Rightarrow y'\left( {{x_B}} \right) \ne 0$ .
tương giao giữa hai đồ thị (9).PNG

$ \Rightarrow $ ${x_B} = 1 \Rightarrow {y_B} = - 4{x_B} + 3 = - 1$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là D

Câu 6-[Thi HK1 THPT HN-Amsterdam]
Cho hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + {m^2} - 4$ có đồ thị (C). Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị (C) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt trong đó có đúng 3 điểm có hoành độ lớn hơn -1 ?
A. -3< m < -1
B. -2< m < 2
C. 2< m < 3
D. $\left[ \begin{array}{l}
m < - 1\\
m > 3
\end{array} \right.$
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : T. CASIO
Số nghiệm của đồ thị (C) và trục hoành là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. ${x^4} - 2m{x^2} + {m^2} - 4 = 0$ (1) . Đặt ${x^2} = t$ thì $\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - 2mt + {m^2} - 4 = 0$ (2)
Ta hiểu 1 nghiệm t> 0 sẽ sinh ra 2 nghiệm $x = \pm \sqrt t $ . Khi phương trình (2) có 2 nghiệm ${t_1} > {t_2} > 0$ thì phương trình (1) có 4 nghiệm $ - \sqrt {{t_1}} < - \sqrt {{t_2}} < \sqrt {{t_2}} < \sqrt {{t_1}} $ . Vậy để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt trong đó có đúng 3 điểm có hoành độ lớn hơn -1 (tức là 1 điểm có hoành độ nhỏ hơn -1 thì $0 < {t_2} \le 1 < {t_1}$ (*)
Thử với m= -2.5
Xét phương trình ${t^2} - 2mt + {m^2} - 4 = 0$
tương giao giữa hai đồ thị (10).PNG

Thỏa mãn (*)$ \Rightarrow m = 2.5$ thỏa $ \Rightarrow $ C là đáp số chính xác

Câu 7-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $2{x^3} + 3{x^2} - 12x = m$ có đúng 1 nghiệm dương
A. $\left[ \begin{array}{l}
m < - 7\\
m > 0
\end{array} \right.$
B. $\left[ \begin{array}{l}
m = - 7\\
m > 0
\end{array} \right.$
C. $\left[ \begin{array}{l}
m < - 7\\
m > 20
\end{array} \right.$
D. Không có m thỏa
Học Lớp hướng dẫn giải
Đặt $f\left( x \right) = {4^{{x^2}}} - {2^{{x^2} + 2}} + 6$. Khi đó phương trình ban đầu $ \Leftrightarrow f\left( x \right) = m$ (1) . Để (1) có đúng 1 nghiệm dương thì đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số y= f(x) tại đúng 1 điểm có hoành độ dương.
Khảo sát hàm số y= f(x) với chức năng MODE 7
tương giao giữa hai đồ thị (11).PNG

Ta thấy đồ thị có giá trị cực đại là 20 và giá trị cực tiểu là -7 và ta sẽ mô tả được đường đi của f(x) như sau :
tương giao giữa hai đồ thị (12).PNG

Rõ ràng $\left[ \begin{array}{l}
y = m > 0\\
y = - 7
\end{array} \right.$ thì hai đồ thị cắt nhau tại đúng 1 điểm có hoành độ dương. Đáp án B chính xác

Câu 8-[Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1]
Tìm tất cả giá trị m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$ tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn $ - \frac{1}{2}$
A. 0< m< 2
B. -2< m< 2
C. $\frac{9}{8} < m < 2$
D. $ - 2 \le m \le 2$
Học Lớp hướng dẫn giải
Số giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số trên là số giao điểm của phương trình ${x^3} - 3{x^2} + 2 = m \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 2 - m = 0$
Thử với m= -2 . Giải phương trình bậc 3 với tính năng MODE 5 4
tương giao giữa hai đồ thị (13).PNG

Ta thấy chỉ có 2 nghiệm $ \Rightarrow $ 2 giao điểm $ \Rightarrow $ m= -2 không thỏa mãn $ \Rightarrow $ Đáp án D sai
Thử với m=-1 . Giải phương trình bậc 3 với tính năng MODE 5 4
tương giao giữa hai đồ thị (14).PNG

Ta thấy có nghiệm $ < - \frac{1}{2}$ $ \Rightarrow $ m= -1 không thỏa mãn $ \Rightarrow $ Đáp án B sai
Thử với m= 1 . Giải phương trình bậc 3 với tính năng MODE 5 4
tương giao giữa hai đồ thị (15).PNG

Ta thấy có nghiệm $ < - \frac{1}{2}$ $ \Rightarrow $ m=1 không thỏa mãn $ \Rightarrow $ Đáp án A sai
Đáp án C còn lại là đâp án chính xác

Câu 9-[Thi HSG tỉnh Ninh Bình]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể phương trình ${4^{{x^2}}} - {2^{{x^2} + 2}} + 6 = m$ có 3 nghiệm phân biệt ?
A. m=3 B. m>2 C. $2 \le m \le 3$ D. $2 < m < 3$
Học Lớp hướng dẫn giải
Đặt $f\left( x \right) = {4^{{x^2}}} - {2^{{x^2} + 2}} + 6$. Khi đó phương trình ban đầu $ \Leftrightarrow f\left( x \right) = m$
Sử dụng Casio khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ với thiết lập Start -4 End 5 Step 0.5
tương giao giữa hai đồ thị (16).PNG

Quan sát bảng biến thiên ta vẽ đường đi của hàm số
tương giao giữa hai đồ thị (17).PNG

Rõ ràng y=3 cắt đồ thị hàm số y= f(x) tại 3 điểm phân biệt vậy đáp án A là chính xác

Câu 10-[Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1]
Số nguyên dương lớn nhất để phương trình ${25^{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} - \left( {m + 2} \right){5^{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} + 2m + 1 = 0$ có nghiệm ?
A. 20
B. 35
C. 30
D. 25
Học Lớp hướng dẫn giải
Cô lập m ta được $m = \frac{{{{25}^{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} - {{2.5}^{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} + 1}}{{{5^{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} - 2}}$
Đặt $f\left( x \right) = \frac{{{{25}^{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} - {{2.5}^{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} + 1}}{{{5^{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} - 2}}$. Khi đó phương trình ban đầu $ \Leftrightarrow f\left( x \right) = m$
Sử dụng Casio khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số y=f(x) với thiết lập Start -1 End 1 Step 2
tương giao giữa hai đồ thị (18).PNG

Quan sát bảng biến thiên ta thấy $f\left( x \right) \le f\left( 0 \right) = 25.043...$ hay $m \le f\left( 0 \right)$ vậy m nguyên dương lớn nhất là 25 $ \Rightarrow $ D là đáp án chính xác

Câu 11-[Thi HK1 chuyên Amsterdam -HN]
Tập giá trị của tham số m để phương trình ${5.16^x} - {2.81^x} = m{.36^x}$ có đúng 1 nghiệm ?
A. m>0
B. $\left[ \begin{array}{l}
m \le - \sqrt 2 \\
m \ge \sqrt 2
\end{array} \right.$
C. Với mọi m
D. Không tồn tại m
Học Lớp hướng dẫn giải
Cô lập m ta được $m = \frac{{{{5.16}^x} - {{2.81}^x}}}{{{{36}^x}}}$
Đặt $f\left( x \right) = \frac{{{{5.16}^x} - {{2.81}^x}}}{{{{36}^x}}}$. Khi đó phương trình ban đầu $ \Leftrightarrow f\left( x \right) = m$
Sử dụng Casio khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số y= f(x) với thiết lập Start -9 End 10 Step 1
tương giao giữa hai đồ thị (19).PNG

Quan sát bảng biến thiên ta thấy f(x) luôn giảm hay hàm số y= f(x) luôn nghịch biến.
Điều này có nghĩa là đường thẳng y=m luôn cắt đồ thị hàm số y= f(x) tại 1 điểm $ \Rightarrow $ C chính xác

Câu 12-[Thi HK1 THPT Ngô Thì Nhậm - HN]
Phương trình ${\log _3}x - {\log _3}\left( {x - 2} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}m$ vô nghiệm khi :
A. m>1
B. m<0
C. $0 < m \le 1$
D. $m \le 1$
Học Lớp hướng dẫn giải
Điều kiện: x > 2. Phương trình ban đầu $ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {\frac{x}{{x - 2}}} \right) = 2{\log _3}m \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _3}\left( {\frac{x}{{x - 2}}} \right) = {\log _3}m$
$ \Leftrightarrow lo{g_3}\sqrt {\frac{x}{{x - 2}}} = {\log _3}m \Leftrightarrow m = \sqrt {\frac{x}{{x - 2}}} $
Để phương trình ban đầu vô nghiệm thì đường thẳng y= m không cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = \sqrt {\frac{x}{{x - 2}}} $
Sử dụng Casio khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số y=f(x) với thiết lập Start 2 End 10 Step 0.5
tương giao giữa hai đồ thị (20).PNG

Để khảo sát chính xác hơn ta tính giới hạn của hàm y=f(x) khi x tiến tới 2 cận là 2 và $ + \propto $
[ATTACH
tương giao giữa hai đồ thị (21).PNG

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } = 1$
tương giao giữa hai đồ thị (22).PNG

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = + \propto $
Quan sát bảng giá trị và 2 giới hạn ta vẽ đường đi cả đồ thị hàm số y= f(x) và sự tương giao
tương giao giữa hai đồ thị (23).PNG

Ta thấy ngay $m \le 1$ thì 2 đồ thị không cắt nhau hay phương trình ban đầu vô nghiệm.
 
Sửa lần cuối:

33 Kỹ thuật casio giải toán ôn thi đại học