casio Bài 6: Kỹ thuật casio tìm tiệm cận của đồ thị hàm số

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3]
Có bao nhiêu đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 1} }}\)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Cách 1 : CASIO
Giải phương trình : Mẫu số \( = 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt {4{x^2} + 2x + 1} = 0 \Leftrightarrow 4{x^2} + 2x + 1 = 0\) vô nghiệm
⇒ Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 1} }} = \frac{1}{2}\). Vậy đương thẳng\(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 1} }} = - \frac{1}{2}\). Vậy đương thẳng\(y = - \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

⇒ Tóm lại đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang và C là đáp án chính xác
Cách tham khảo : Tự luận

• Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{\sqrt {4 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \frac{1}{2}\) ⇒ đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang
• Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } \frac{{ - 1 - \frac{1}{x}}}{{\sqrt {4 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = - \frac{1}{2}\) ⇒ đường thẳng \(y = - \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang

Bình luận: Việc ứng dụng Casio để tìm tiệm cận sử dụng nhiều kỹ thuật tính giới hạn của hàm số bằng Casio. Các bạn cần học kỹ bài giới hạn trước khi học bài này.
Giới hạn của hàm số khi x tiến tới \( + \propto \) và khi x tiến tới \( - \propto \) là khác nhau. Ta cần hết sức chú ý tránh để sót tiệm cận ngang \(y = - \frac{1}{2}\)

Câu 2-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình]
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{1 - {x^2}}}\)\(\left( C \right)\) có bao nhiêu đường tiệm cận ?
A. 4
B. 2
C. 1
D. 3
Cách 1 : CASIO
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{1 - {x^2}}} = - 1\)

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{1 - {x^2}}} = - 1\)

• Vậy đương thẳng y = - 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
• Giải phương trình: Mẫu số \( = 0\) \( \Leftrightarrow 1 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
• Đến đây nhiều học sinh đã ngộ nhận x = 1 và \(x = - 1\) là 2 tiệm cận đứng của \(\left( C \right)\)
• Tuy nhiên \(x = \pm 1\) là nghiệm của phương trình Mẫu số \( = 0\) chỉ là điều kiện cần. Điều kiện đủ phải là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm 1} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{1 - {x^2}}} = \infty \)

⇒ Ta đi kiểm tra điều kiện dủ
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{1 - {x^2}}} = - \infty \)

Vậy đương thẳng\(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị \(\left( C \right)\)
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + 1} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{1 - {x^2}}} = \frac{1}{2}\)
r1+0.0000000001=
Vậy đường thẳng x = 1 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị \(\left( C \right)\)
⇒ Tóm lại đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang y = - 1 và 1 tiệm cận đứng \(x = - 1\)
⇒ Đáp số chính xác là B
Cách tham khảo: Tự luận

• Rút gọn hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{1 - {x^2}}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{ - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2 - x}}{{x + 1}}\)
• Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{2 - x}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{ - 1 + \frac{2}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = - 1\) ⇒ đường thẳng y = - 1 là tiệm cận ngang
• Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{2 - x}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } \left( { - 1 + \frac{3}{{x + 1}}} \right) = + \propto \) ⇒ đường thẳng y = - 1 là tiệm cận đứng

Bình luận: Việc tử số và mẫu số đều có nhân tử chung dẫn tới hàm số bị suy biến như ví dụ 2 là thường xuyên xảy ra trong các đề thi. Chúng ta cần cảnh giá và kiểm tra lại bằng kỹ thuật tìm giới hạn bằng Casio

Câu 3-[Thi thử chuyên KHTN –HN lần 2]
Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận ngang ?
A. \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\)
B. \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\)
C. \(y = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}}\)
D. \(y = \frac{1}{{x + 1}}\)
Cách 1 : CASIO
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = + \propto \)

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = - \propto \)

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}}\) không có tiệm cận ngang
⇒ Tóm lại C là đáp án chính xác
Cách tham khảo: Tự luận

• Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{x + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = + \propto \)
• Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } \frac{{x + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = - \propto \) ⇒ Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

Bình luận: Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) không có tiệm cận ngang nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y\) bằng \(\infty \)

Câu 4-[Khảo sát chất lượng chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa]
Tìm tất các các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{5x - 3}}{{{x^2} - 2mx + 1}}\) không có tiệm cận đứng
A. m = 1
B. m = - 1
C. \(\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 1\end{array} \right.\)
D. \( - 1 < m < 1\)
Cách 1 : CASIO
Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì phương trình mẫu số bằng 0 không có nghiệm hoặc có nghiệm nhưng giới hạn hàm số khi x tiến tới nghiệm không ra vô cùng.:
Với m = 1 . Hàm số \( \Leftrightarrow y = \frac{{5x - 3}}{{{x^2} - 2x + 1}}\) . Phương trình \({x^2} - 2x + 1 = 0\) có nghiệm x = 1 Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x - 3}}{{{x^2} - x + 1}} = + \propto \). ⇒ Đáp số A sai

Với m = 0 hàm số \( \Leftrightarrow y = \frac{{5x - 3}}{{{x^2} + 1}}\) . Phương trình \({x^2} + 1 = 0\) vô nghiệm ⇒ Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng \( \Rightarrow m = 0\)
⇒ D là đáp án chính xác
Cách tham khảo: Tự luận

• Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì phương trình mẫu số bằng 0 vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1\)
• Trường hợp 2 phương trình mẫu số bằng 0 có nghiệm nhưng bị suy biến (rút gọn) với nghiệm ở tử số. ⇒ Không xảy ra vì bậc mẫu > bậc tử

Bình luận: Việc giải thích được trường hợp 2 của tự luận là tương đối khó khăn. Do đó bài toán này chọn cách Casio là rất dễ làm.

Câu 5-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{x^2} + 1} }}\) có hai tiệm cận ngang
A. m < 0
B. Không có m thỏa
C. m = 0
D. m > 0
Cách 1: CASIO
Thử đáp án A ta chọn 1 giá trị m < 0 , ta chọn \(m = - 2,15\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{x + 1}}{{\sqrt { - 2.15{x^2} + 1} }}\)

• Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{x + 1}}{{\sqrt { - 2.15{x^2} + 1} }}\)không tồn tại ⇒ hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt { - 2.15{x^2} + 1} }}\)không thể có 2 tiệm cận ngang
• Thử đáp án B ta chọn gán giá trị m = 0. Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {0{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \left( {x + 1} \right)\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \left( {x + 1} \right) = + \propto \) ⇒ hàm số \(y = \left( {x + 1} \right)\) không thể có 2 tiệm cận ngang
Thử đáp án D ta chọn gán giá trị \(m = 2.15\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {2.15{x^2} + 1} }} = 0.6819...\)

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {2.15{x^2} + 1} }} = - 0.6819...\)

Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang \(y = \pm - 0.6819...\)
⇒ Đáp số D là đáp số chính xác
Bình luận:
Qua ví dụ 4 ta thấy sức mạnh của Casio so với cách làm tự luận. .

Câu 6-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 2]
Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1 - \sqrt {{x^2} + x + 3} }}{{{x^2} - 5x + 6}}\)
A. \(\left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = - 2\end{array} \right.\)
B. \(x = - 3\)
C.\(\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 2\end{array} \right.\)
D. \(x = 3\)
Đường thẳng \(x = {x_0}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì điều kiện cần : \({x_0}\) là nghiệm của phương trình mẫu số bằng 0
Nên ta chỉ quan tâm đến hai đường thẳng \(x = 3\) và \(x = 2\)
Với \(x = 3\) xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3 + } \frac{{2x - 1 - \sqrt {{x^2} + x + 3} }}{{{x^2} - 5x + 6}} = + \propto \)\( \Rightarrow x = 3\) là một tiệm cận đứng

Với \(x = 2\) xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } \frac{{2x - 1 - \sqrt {{x^2} + x + 3} }}{{{x^2} - 5x + 6}} = + \propto \) Kết quả không ra vô cùng\( \Rightarrow x = 2\) không là một tiệm cận đứng

⇒ Đáp số chính xác là B

Câu 7-[Thi thử chuyên Lương Văn Tụy lần 1]
Số tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} - 1}}\) là :
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Phương trình mẫu số bằng 0 có 2 nghiệm \(x = \pm 1\)
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{x}{{{x^2} - 1}} = + \propto \)\( \Rightarrow x = 1\) là tiệm cận đứng

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{x}{{{x^2} - 1}} = + \propto \)\( \Rightarrow x = - 1\) là tiệm cận đứng

⇒ Đáp số chính xác là B

Câu 8-[Thi thử THPT Vũ Văn Hiếu –Nam Định lần 1]
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\) là :
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
Phương trình mẫu số bằng 0 có 2 nghiệm \(x = \pm 2\)
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = + \propto \)\( \Rightarrow x = 2\) là tiệm cận đứng

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = + \propto \)\( \Rightarrow x = - 1\) là tiệm cận đứng

⇒ Đáp số chính xác là C

Câu 9-[Thi thử chuyên Thái Bình lần 1]
Tìm các giá trị thực của m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + m}}{{x - m}}\) không có tiệm cận đứng ?
A. m = 0
B. \(\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\)
C. \(m > - 1\)
D. \(m > 1\)
Với m = 0 hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x}}{x}\) , Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{2{x^2} - 3x}}{x} = - 3,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{2{x^2} - 3x}}{x} = - 3\) ⇒ Không có tiệm cận đứng ⇒ m = 0 thỏa.

Tương tự m = 1 cũng thỏa ⇒ Đáp số chính xác là B
Chú ý: Nếu chúng ta chú ý một chút tự luận thì hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x}}{x}\) sẽ rút gọn tử mẫu và thành \(y = 2x - 3\) là đường thẳng nên không có tiệm cận đứng.

Câu 10-[Thi thử THPT Quảng Xương –Thanh Hóa lần 1]
Hàm số \(y = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + x + 1} }}{{{x^3} + x}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Phương trình mẫu số bằng 0 có 1 nghiệm duy nhất \(x = 0\) . Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x + \sqrt {{x^2} + x + 1} }}{{{x^3} + x}} = + \propto \)
\( \Rightarrow x = 0\) là tiệm cận đứng

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{x + \sqrt {{x^2} + x + 1} }}{{{x^3} + x}} = 0\)\( \Rightarrow y = 0\) là tiệm cận ngang

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } \frac{{x + \sqrt {{x^2} + x + 1} }}{{{x^3} + x}} = 0\)\( \Rightarrow y = 0\) là tiệm cận ngang

Tóm lại đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang ⇒ B chính xác
Chú ý: Học sinh thường mặc định có 2 tiệm cận ngang ⇒ Chọn nhầm đáp án C

Câu 11-[Thi HK1 chuyên Nguyễn Du – Đắc Lắc]
Tìm tất cả các số thực m để đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} - m}}\) có 3 đường tiệm cận
A. \(m \ne 0\) B. m = 0 C. m > 0 D. m < 0
Thử với m = 9 Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{x}{{{x^2} - 9}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } \frac{x}{{{x^2} - 9}} = 0\) ⇒ Đồ thị hàm số chỉ có 1 tiệm cận ngang

Phương trình mẫu số bằng 0 có hai nghiệm \(x = 3;x = - 3\) . Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{x}{{{x^2} - 9}} = + \propto ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{x}{{{x^2} - 9}} = + \propto \) ⇒ có 2 tiệm cận đứng

Vậy m = 9 thỏa ⇒ Đáp số chứa m = 9 là C chính xác.

Câu 12-[Thi thử chuyên Lương Văn Tụy lần 1]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = x + m\sqrt {{x^2} + x + 1} \) có đường tiệm cận ngang
A. m = - 1
B. m < 0
C. m > 0
D. \(m = \pm 1\)
Với m = - 1 . Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \left( {x - \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right) = - \frac{1}{2} \Rightarrow \)\(x = - 1\) thỏa ⇒ Đáp số đúng là A hoặc D

Với m = 1 . Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } \left( {x + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right) = - \frac{1}{2} \Rightarrow \)x = 1 thỏa ⇒ Đáp số chính xác là D