casio Bài 5: Kỹ thuật casio tìm giới hạn hàm số

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1-[Thi thử THPT chuyên Ngữ lần 1]
Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{2x}} - 1}}{{\sqrt {x + 4} - 2}}$ bằng :
A. 1
B. 8
C. 2
D. 4
Cách 1 : CASIO
Vì $x \to 0 \Rightarrow x = 0 + {10^{ - 6}}$ Sử dụng máy tính Casio với chức năng CALC

Ta nhận được kết quả $\frac{{1000001}}{{125000}} \approx 8$
$ \Rightarrow $ B là đáp án chính xác
Chú ý : Vì chúng ta sử dụng thủ thuật để tính giới hạn , nên kết quả máy tính đưa ra chỉ xấp xỉ đáp án , nên cần chọn đáp án gần nhất.

Câu 2-[Thi thử chuyên Amsterdam lần 1]
Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{\sin x}} - 1}}{x}$ bằng :
A. 1
B. -1
C. 0
D. $ + \propto $
Cách 1 : CASIO
Vì $x \to 0 \Rightarrow x = 0 + {10^{ - 6}}$ Sử dụng máy tính Casio với chức năng CALC

Ta nhận được kết quả $1.00000049 \approx 1$
$ \Rightarrow $ A là đáp án chính xác

Câu 3:
Tính giới hạn : $\lim \frac{{{n^3} + 4n - 5}}{{3{n^3} + {n^2} + 7}}$
A. $\frac{1}{3}$
B. 1
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{2}$
Cách 1 : CASIO
Đề bài không cho x tiến tới bao nhiêu thì ta hiểu đây là giới hạn dãy số và $x \to + \propto $

Ta nhận được kết quả $0.3333333332 \approx \frac{1}{3}$
$ \Rightarrow $ A là đáp án chính xác

Câu 4 :
Kết quả giới hạn $\lim \frac{{2 - {5^{n + 2}}}}{{{3^n} + {{2.5}^n}}}$ là :
A. $ - \frac{{25}}{2}$
B. $\frac{5}{2}$
C. 1
D. $ - \frac{5}{2}$
Cách 1 : CASIO
Đề bài không cho x tiến tới bao nhiêu thì ta hiểu đây là giới hạn dãy số và $x \to + \propto $ . Tuy nhiên chúng ta chú ý, bài này liên quan đến lũy thừa (số mũ) mà máy tính chỉ tính được số mũ tối đa là 100 nên ta chọn x= 100

Ta nhận được kết quả $ - \frac{{25}}{2}$
$ \Rightarrow $ A là đáp án chính xác
Chú ý : Nếu bạn nào không hiểu tính chất này của máy tính Casio mà cố tình cho $x = {10^9}$ thì máy tính sẽ báo lỗi


Câu 5 :
Tính giới hạn : $\lim \left( {1 + \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}} \right)$
A. 3
B. 1
C. 2
D. 0
Cách 1 : CASIO
Ta không thể nhập vào máy tính Casio cả biểu thức n số hạng ở trong ngoặc được, vì vậy ta phải tiến hành rút gọn.
$1 + \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = 1 + \frac{{2 - 1}}{{1.2}} + \frac{{3 - 2}}{{2.3}} + ... + \frac{{n + 1 - n}}{{n\left( {n + 1} \right)}}$
$ = 1 + 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = 2 - \frac{1}{{n + 1}}$
Đề bài không cho x tiến tới bao nhiêu thì ta hiểu đây là giới hạn dãy số và $x \to + \propto $

Ta nhận được kết quả $1.999999999 \approx 2$
$ \Rightarrow $ C là đáp án chính xác

Câu 6 : Cho $S = \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} - .... + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{3^n}}}$ . Giá trị của S bằng :
A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 1
Cách 1 : CASIO
Ta hiểu giá trị của S bằng $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } S$
Ta quan sát dãy số là một cấp số nhân với công bội $q = - \frac{1}{3}$ và ${u_1} = \frac{1}{3}$
Vậy $S = {u_2}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = \frac{1}{3}.\frac{{1 - {{\left( { - \frac{1}{3}} \right)}^n}}}{{1 - \left( { - \frac{1}{3}} \right)}}$

Ta nhận được kết quả $\frac{1}{4}$
$ \Rightarrow $ B là đáp án chính xác
Chú ý : Trong tự luận ta có thể sử dụng công thức của cấp số nhân lùi vô hạn để tính

Câu 7: Tính giới hạn : $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{2x + \sqrt x }}{{5x - \sqrt x }}$
A. $ + \propto $
B. $\frac{2}{5}$
C. $ - \propto $
D. -1
Cách 1 : CASIO
Đề bài cho $x \to {0^ + }$ $ \Rightarrow x = 0 + {10^{ - 6}}$

Ta nhận được kết quả $ - \frac{{1002}}{{999}} \approx - 1$
$ \Rightarrow $ D là đáp án chính xác

Câu 8 : Tính giới hạn : $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {\frac{{1 - {x^3}}}{{3{x^2} + x}}} $
A. $ - \propto $
B. $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$
C. 0
D. 1
Cách 1 : CASIO
Đề bài cho $x \to {1^ - }$ $ \Rightarrow x = 0 + {10^{ - 6}}$

Ta nhận được kết quả chứa ${10^{ - 4}} \approx 0$
$ \Rightarrow $ C là đáp án chính xác

Câu 9 : Tính giới hạn : $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\cos x + \sin x} \right)^{\cot x}}$
A. $L = \propto $
B. L= 1
C. L= e
D. $L = {e^2}$
Cách 1 : CASIO
Đề bài cho $x \to 0$ $ \Rightarrow x = 0 + {10^{ - 6}}$ . Phím cot không có ta sẽ nhập phím tan

Ta nhận được kết quả chứa $2.718... \approx e$
$ \Rightarrow $ C là đáp án chính xác.