casio Bài 4: Kỹ thuật tìm tiếp tuyến của hàm số

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
I. KIẾN THỨC NỀN TẢNG
  1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm : Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và một điểm$M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đồ thị (C) . Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm M là đường thẳng d có phương trình : $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$
  2. Lệnh Casio:
casio.PNG


II. VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1-[Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1]

Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = - \frac{1}{x} - \ln x$ tại điểm có hoành độ bằng 2
A. $\frac{1}{2} - \ln 2$
B. $ - \frac{1}{4}$
C. $ - \frac{3}{4}$
D. $\frac{1}{4}$
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIO
Gọi tiếp điểm là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$
Sử dụng máy tính Casio để tính hệ số góc tiếp tuyên tại điểm có hoành độ bằng 2 $ \Rightarrow k = f'\left( 2 \right)$
Tiếp tuyến của hàm số (1).PNG

Ta thấy$k = f'\left( 2 \right) = - 0.25 = - \frac{1}{4}$ .
=> B là đáp án chính xác

Câu 2-[Thi thử chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1]
Cho hàm số $y = - {x^3} + 3x - 2$ có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
A. $y = - 2x + 1$
B. $y = 3x - 2$
C. $y = 2x + 1$
D. $y = - 3x - 2$
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIO
Gọi tiếp điểm là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$
M là giao điểm của đồ thị (C) và trục tung $ \Rightarrow $ M có tọa độ $\left( {0; - 2} \right)$
Tính $f'\left( 0 \right) = 0$
Tiếp tuyến của hàm số (2).PNG

Thế vào phương trình tiếp tuyến có $y = 3\left( {x - 0} \right) - 2 \Leftrightarrow y = 3x - 2$
$ \Rightarrow $ B là đáp án chính xác

Câu 3-[Thi thử chuyên Nguyễn Thị Minh Khai lần 1]
Số tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right)$ : $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$ đi qua điểm M(1;0) là :
A. 4
B.2
C. 3
D. 1
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIO
Gọi tiếp điểm là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$ Trong đó hệ số góc $k = f'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 - 6{x_0}$
Thế $f'\left( {{x_0}} \right)$ vào phương trình tiếp tuyến được $y = \left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3x_0^2 + 2$
Tiếp tuyến đi qua điểmM(1;0) $ \Rightarrow 0 = \left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( {1 - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3x_0^2 + 2$
$ \Leftrightarrow - 2x_0^3 + 6x_0^2 - 6{x_0} + 2 = 0$
Sử dụng máy tính với lệnh MODE 5 để giải phương trình bậc 3 trên
Tiếp tuyến của hàm số (3).PNG

Ta thấy có 1 nghiệm ${x_0}$ $ \Rightarrow $ Chỉ có 1 tiếp tuyến duy nhất.
=> D là đáp án chính xác

Câu 4-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4]
Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$ có đồ thị (C). Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của (C) với hệ số góc nhỏ nhất
A. $y = - 3x + 3$
B. $y = - 3x - 3$
C. y= -3x
D. y=0
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIO
Gọi tiếp điểm là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$ Trong đó hệ số góc $k = f'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 - 6{x_0}$
Tìm giá trị nhỏ nhất của k bằng chức năng MODE 7
Tiếp tuyến của hàm số (4).PNG

Ta thấy $f'\left( {\min } \right) = f'\left( 1 \right) = - 3 \Rightarrow {x_0} = - 3$ $ \Rightarrow {y_0} = {1^3} - {3.1^2} + 2 = 0$
Thế vào phương trình tiếp tuyến có $y = - 3\left( {x - 1} \right) + 0 \Leftrightarrow y = - 3x + 3$
$ \Rightarrow $ D là đáp án chính xác

Câu 5-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4]
Cho hàm số $y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}$ (C) Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của (C) đến một tiếp tuyến bất kì của (C) . Giá trị lớn nhất d có thể đạt được là :
A. $3\sqrt 3 $
B. $\sqrt 3 $
C. $\sqrt 2 $
D. $2\sqrt 2 $
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : T. CASIO
Gọi tiếp điểm là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$ Trong đó hệ số góc $k = f'\left( {{x_0}} \right) = - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}$ .
Thế $k,{y_0}$ vào phương trình tiếp tuyến có dạng : $y = - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} + 1}}$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}x + y - \frac{{{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} - \frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} + 1}} = 0$
Hàm số có tiệm cận đứng x= -1 và tiệm cận ngang y = 1 nên giao điểm hai tiệm cận là I (-1;1).
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng ta có:
$h = d\left( {I;\left( d \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\left( { - 1} \right) + 1 - \frac{{{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} - \frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} + 1}}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}} \right)}^2} + {1^2}} }}$
Dùng máy tính Casio với lệnh MODE 7 để tính các giá trị lớn nhất này.
Tiếp tuyến của hàm số (5).PNG

Ta thấy $h\left( {\max } \right) = \sqrt 2 $
$ \Rightarrow $ C là đáp án chính xác

Câu 6-[Thi HK1 THPT Việt Đức – Hà Nội]
Hàm số $y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}$ (H), M là điểm bất kì và $M \in \left( H \right)$ . Tiếp tuyến với (H) tại M tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích bằng :
A. 4
B.5
C. 3
D. 2
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIO
Gọi tiếp điểm là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$ Trong đó hệ số góc $k = f'\left( {{x_0}} \right) = - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}$ .
Thế $k,{y_0}$ vào phương trình tiếp tuyến có dạng: $y = - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0} - 1}}{{{x_0} - 1}}$ (d)
Hàm số có tiệm cận đứng x=1 và tiệm cận ngang y=2 và giao điểm 2 tiệm cận là I (1;2)
Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến d và tiệm cận đứng $ \Rightarrow E\left( {1;\frac{{2{x_0}}}{{{x_0} - 1}}} \right)$
Gọi F là giao điểm của tiếp tuyến d và tiệm cận ngang $ \Rightarrow F\left( {2{x_0} - 1;2} \right)$
Độ dài $IE = \left| {\overrightarrow {IE} } \right| = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + \left( {\frac{{2{x_0}}}{{{x_0} - 1}} - 2} \right)} = \frac{2}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}$
Độ dài \[IF = \sqrt {{{\left( {2{x_0} - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2}} = 2\left| {{x_0} - 1} \right|\] Áp dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng ta có :
Diện tích $\Delta IEF$ $ = \frac{1}{2}IE.IF = \frac{1}{2}.\frac{2}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}.2\left| {{x_0} - 1} \right| = 2$ $ \Rightarrow $ D là đáp án chính xác

Câu 7-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3]
Cho hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{2x - 1}}$ . Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1 có hệ số góc bằng :
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $ - \frac{1}{3}$
D. $ - \frac{1}{6}$
Học Lớp hướng dẫn giải
Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm tại tiếp điểm $ \Rightarrow k = f'\left( { - 1} \right) = - \frac{1}{3}$
Tiếp tuyến của hàm số (6).PNG

=> Đáp số chính xác là C

Câu 8-[Thi thử chuyên Quốc Học Huế lần 1]
Tìm tọa độ của tất cả các điểm M trên đồ thị (C) của hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}$ sao cho tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng $d:y = \frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$
A. $\left( {0;1} \right),\left( {2;3} \right)$ B. $\left( {1;0} \right),\left( { - 3;2} \right)$ C. $\left( { - 3;2} \right)$ D. $\left( {1;0} \right)$
Học Lớp hướng dẫn giải
Đề bài hỏi các điểm M nên ta dự đoán có 2 điểm , lại quan sát thấy đáp án B được cấu tạo từ đáp án C và D nên ta ưu tiên thử đáp án D trước.
Tiếp tuyến song song với d nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng hệ số góc của d và bằng $\frac{1}{2}$
Tính $f'\left( 1 \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow $ Điểm $M\left( {1;0} \right)$ là một tiếp điểm
Tiếp tuyến của hàm số (7).PNG

Tính $f'\left( { - 3} \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow $ Điểm $M\left( { - 3;2} \right)$ là một tiếp điểm
Tiếp tuyến của hàm số (8).PNG

$ \Rightarrow $ B là đáp án chính xác

Câu 9-[Thi thử chuyên Thái Bình lần 1]
Cho hàm số $M\left( { - 3;2} \right)$ có đồ thị (C) . Tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành có phương trình là :
A. y= 3x B. y= 3x-3 C. y= x-3 D. $y = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$
Học Lớp hướng dẫn giải
Gọi tiếp điểm là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Rightarrow $ Tiếp tuyến $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$
M là giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành $ \Rightarrow M\left( {1;0} \right)$ $ \Rightarrow {x_0} = 1;{y_0} = 0$
Tính hệ số góc $k = f'\left( 1 \right)$
Tiếp tuyến của hàm số (9).PNG

Thay vào ta có tiếp tuyến $y = \frac{1}{3}\left( {x - 1} \right) + 0 \Leftrightarrow y = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$
=> Đáp số chính xác là D

Câu 10-[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3]
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x- 16
A. y= 9x + 16
B. y= 9x+ 12
C. y= 9x- 10
D. y= 9x- 12
Học Lớp hướng dẫn giải
Gọi tiếp điểm là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Rightarrow $ Tiếp tuyến $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$ với hệ số góc $k = f'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 - 3$
Tiếp tuyến song song với y= 9x -16 nên có hệ số góc $k = 9 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 3 = 9 \Leftrightarrow {x_0} = \pm 2$
Với ${x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 2 \Rightarrow $ Tiếp tuyến : $y = 9\left( {x - 2} \right) + 2 \Leftrightarrow y = 9x - 16$ Tính hệ số góc $k = f'\left( 1 \right)$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A

Câu 11-[Thi thử Group nhóm toán Facebook lần 5]
Tìm tọa độ điểm M có hoành độ âm trên đồ thị $\left( C \right):y = \frac{1}{3}{x^2} - x + \frac{2}{3}$ sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng $y = - \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$
A. $M\left( { - 2;0} \right)$ B. $M\left( { - 3; - \frac{{16}}{3}} \right)$ C. $\left( { - 1;\frac{4}{3}} \right)$ D. $M\left( {\frac{1}{2};\frac{9}{8}} \right)$
Học Lớp hướng dẫn giải
Gọi tiếp điểm là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Rightarrow $ Tiếp tuyến $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$ với hệ số góc $k = f'\left( {{x_0}} \right) = x_0^2 - 1$
Tiếp tuyến vuông góc với $y = - \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$ nên có hệ số góc $k.\left( { - \frac{1}{3}} \right) = - 1 \Leftrightarrow k = 3 \Leftrightarrow x_0^2 - 1 = 3 \Leftrightarrow {x_0} = \pm 2$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A
Câu 6-[Thi tốt nghiệm THPT]
Cho hàm số $y = \frac{1}{4}{x^4} - 2{x^2}\left( C \right)$ . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ $x = {x_0}$ biết $f''\left( {{x_0}} \right) = - 1$
A. $\left[ \begin{array}{l}
y = - 3x - \frac{5}{4}\\
y = 3x + \frac{5}{4}
\end{array} \right.$ B. $\left[ \begin{array}{l}
y = 3x - \frac{5}{4}\\
y = - 3x + \frac{5}{4}
\end{array} \right.$ C. $\left[ \begin{array}{l}
y = - 3x - \frac{5}{4}\\
y = 3x - \frac{5}{4}
\end{array} \right.$ D. $\left[ \begin{array}{l}
y = - 3x + \frac{5}{4}\\
y = 3x + \frac{5}{4}
\end{array} \right.$
Học Lớp hướng dẫn giải
Gọi tiếp điểm là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Rightarrow $ Tiếp tuyến $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$ với hệ số góc $k = f'\left( {{x_0}} \right) = x_0^4 - 4{x_0}$
Ta có $f''\left( x \right) = 3x_0^2 - 4$ $ \Rightarrow 3x_0^2 - 4 = - 1 \Leftrightarrow x_0^2 = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 1;{y_0} = - \frac{7}{4}\\
{x_0} = - 1;{y_0} = - \frac{7}{4}
\end{array} \right.$
Với ${x_0} = 1$ Tính hệ số góc $k = f'\left( 1 \right)$
Tiếp tuyến của hàm số (10).PNG

Thay vào ta có tiếp tuyến $y = - 3\left( {x - 1} \right) - \frac{7}{4} \Leftrightarrow y = - 3x + \frac{5}{4}$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là D
Với ${x_0} = - 1$ Tính hệ số góc $k = f'\left( 1 \right)$
Tiếp tuyến của hàm số (11).PNG

Thay vào ta có tiếp tuyến $y = 3\left( {x + 1} \right) - \frac{7}{4} \Leftrightarrow y = 3x + \frac{5}{4}$
=> Đáp số chính xác là D.
 

33 Kỹ thuật casio giải toán ôn thi đại học