casio Bài 33: Kỹ thuật casio giải phương trình số phức

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG
1. Chuyển số phức về dạng lượng giác

Dạng lượng giác của số phức : Cho số phức z có dạng $z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$ thì ta luôn có : ${z^n} = {r^n}\left( {\cos n\varphi + i\sin n\varphi } \right)$
Lệnh chuyển số phức z=a+bi về dạng lượng giác : Lệnh SHIFT 2 3
Bước 1: Nhập số phức z=a+bi vào màn hình rồi dùng lệnh SHIFT 2 3 (Ví dụ $z = 1 + \sqrt 3 i$ )
giải phương trình số phức (1).PNG

Bước 2: Từ bảng kết quả ta đọc hiểu r=2 và $\varphi = \frac{\pi }{3}$

II) VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1.
Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} - z + 1 = 0$ . Giá trị của $\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$ bằng :
A.0
B.1
C. 2
D.4
(Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017)
Cách Casio
Tính nghiệm của phương trình bậc hai ${z^2} - z + 1 = 0$ bằng chức năng MODE 5 3
giải phương trình số phức (2).PNG

Vậy ta được hai nghiệm ${z_1} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ và ${z_2} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ . Tính tổng Môđun của hai số phức trên ta lại dùng chức năng SHIFT HYP
giải phương trình số phức (3).PNG

$ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2$ ta thấy B là đáp án chính xác

Câu 2. Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 2z + 2 = 0$ . Tính giá trị của biểu thức $P = z_1^{2016} + z_2^{2016}$ :
A. ${2^{1009}}$
B.0
C. ${2^{2017}}$
D. ${2^{1008}}$
(Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017)
Cách Casio 1
Tính nghiệm của phương trình bậc hai ${z^2} + 2z + 2 = 0$ bằng chức năng MODE 5 3
giải phương trình số phức (4).PNG

Ta thu được hai nghiệm ${z_1} = - 1 + i$ và ${z_2} = - 1 - i$ . Với các cụm đặc biệt -1+i , -1-i ta có điều đặc biệt sau: ${\left( { - 1 + i} \right)^4} = - 4$ , ${\left( { - 1 - i} \right)^4} = - 4$
giải phương trình số phức (5).PNG

Vậy $P = z_1^{2016} + z_2^{2016} = {\left( { - 1 + i} \right)^{2016}} + {\left( { - 1 - i} \right)^{2016}} = {\left[ {{{\left( { - 1 + i} \right)}^4}} \right]^{504}} + {\left[ {{{\left( { - 1 - i} \right)}^4}} \right]^{504}}$
$ = {\left( { - 4} \right)^{504}} + {\left( { - 4} \right)^{504}} = {4^{504}} + {4^{504}} = {2^{1008}} + {2^{1008}} = {2.2^{1008}} = {2^{1009}}$
$P = z_1^{2016} + z_2^{2016} = {2^{1009}}$ ta thấy A là đáp án chính xác

Cách Casio 2
Ngoài cách sử dụng tính chất đặc biệt của cụm ${\left( { - 1 \pm i} \right)^4}$ ta có thể xử lý $ - 1 \pm i$ bằng cách đưa về dạng lượng giác bằng lệnh SHIFT 2 3
Với ${z_1} = - 1 + i = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$
giải phương trình số phức (6).PNG

Ta nhận được $r = \sqrt 2 $ và góc $\varphi = \frac{{3\pi }}{4}$
$ \Rightarrow {z_1} = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}} \right) \Rightarrow z_1^{2016} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{2016}}\left( {\cos 2016.\frac{{3\pi }}{4} + i\sin 2016.\frac{{3\pi }}{4}} \right)$
Tính $\cos \left( {2016.\frac{{3\pi }}{4}} \right) + i.\sin \left( {2016.\frac{{3\pi }}{4}} \right)$
giải phương trình số phức (7).PNG

$z_1^{2016} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{2016}} = {2^{1008}}$
Tương tự $z_2^{2016} = {2^{1008}} \Rightarrow T = {2^{1009}}$

Câu 3. Kí hiệu ${z_1},{z_2},{z_3}$ và ${z_4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình ${z^4} - {z^2} - 12 = 0$ . Tính tổng : $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right|$
A.T=4
B. $T = 2\sqrt 3 $
C. $T = 4 + 2\sqrt 3 $
D. $T = 2 + 2\sqrt 3 $
(Đề minh họa bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017)
Cách Casio
Để tính nghiệm của phương trình ta dùng chức năng MODE 5. Tuy nhiên máy tính chỉ tính được phương trình bậc 2 và 3 nên để tính được phương trình bậc 4 trùng phương ${z^4} - {z^2} - 12 = 0$ thì ta coi ${z^2} = t$ khi đó phương trình trở thành ${t^2} - t - 12 = 0$
giải phương trình số phức (8).PNG

Vậy $\left[ \begin{array}{l}
t = 4\\
t = - 3
\end{array} \right.$ hay $\left[ \begin{array}{l}
{z^2} = 4\\
{z^2} = - 3
\end{array} \right.$
Với \[{{\rm{z}}^2} = 4 \Rightarrow z = \pm 2\]
Với ${z^2} = - 3$ ta có thể đưa về ${z^2} = 3{i^2} \Leftrightarrow z = \pm \sqrt 3 i$ với ${i^2} = - 1$ . Hoặc ta có thể tiếp tục sử dụng chức năng MODE 5 cho phương trình ${z^2} = - 3 \Leftrightarrow {z^2} + 3 = 0$
giải phương trình số phức (9).PNG

Tóm lại ta sẽ có 4 nghiệm $z = \pm 1\,,\,z = \pm \sqrt 3 i$
Tính T ta lại sử dụng chức năng tính môđun SHIFT HYP
giải phương trình số phức (10).PNG

$ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là C

Câu 4- Giải phương trình sau trên tập số phức : ${z^3} + \left( {i + 1} \right){z^2} + \left( {i + 1} \right)z + i = 0$
A.z=-I
B. $z = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$
C. $z = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$
D.Cả A, B, C đều đúng
(Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 năm 2017)
Cách Casio
Để kiểm tra nghiệm của 1 phương trình ta sử dụng chức năng CALC
giải phương trình số phức (11).PNG

Vậy z=-i là nghiệm
Tiếp tục kiểm tra $z = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ nếu giá trị này là nghiệm thì cả đáp án A và B đều đúng có nghĩa là đáp án D chính xác. Nếu giá trị này không là nghiệm thì chỉ có đáp án A đúng duy nhất.
giải phương trình số phức (12).PNG

Vậy $z = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ tiếp tục là nghiệm có nghĩa là đáp án A và B đều đúng
$ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là D

Cách tự luận
Để giải phương trình số phức xuất hiện số trong đó ta không thể sử dụng chức năng MODE 5 được mà phải tiến hành nhóm nhân tử chung
Phương trình $ \Leftrightarrow {z^3} + {z^2} + z + \left( {{z^2} + z + 1} \right)i = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {z + i} \right)\left( {{z^2} + z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = - i\\
{z^2} + z + 1 = 0
\end{array} \right.$
Phương trình ${z^2} + z + 1 = 0$ không chứa số i nên ta có thể sử dụng máy tính Casio với chức năng giải phương trình MODE 5
giải phương trình số phức (13).PNG

Tóm lại phương trình có 3 nghiệm $z = - i\,;\,z = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\,;\,z = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$
D là đáp án chính xác

Câu 5. Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào có hai nghiệm ${z_1} = 1 + \sqrt 3 \,;{z_2} = 1 - \sqrt 3 $
A. ${z^2} + i\sqrt 3 z + 1 = 0$
B. ${z^2} + 2{\rm{z}} + 4 = 0$
C. ${z^2} - 2{\rm{z}} + 4 = 0$
D. ${z^2} - 2{\rm{z}} - 4 = 0$
(Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017)
Ta hiểu phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ nếu có hai nghiệm thì sẽ tuân theo định lý Vi-et (kể cả trên tập số thực hay tập số phức )
$\left\{ \begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = - \frac{b}{a}\\
{z_1}{z_2} = \frac{c}{a}
\end{array} \right.$
Tính ${z_1} + {z_2} = 2$
giải phương trình số phức (14).PNG

Tính ${z_1}{z_2} = 4$
giải phương trình số phức (15).PNG

Rõ ràng chỉ có phương trình ${z^2} - 2{\rm{z}} + 4 = 0$ có $ - \frac{b}{a} = 2$ và $\frac{c}{a} = 4$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C

Câu 6. Phương trình ${z^2} + iz + 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm trong tập số phức :
A.2
B.1
C. 0
D.Vô số
(Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017)
Ta phân biệt : Trên tập số thực phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ sẽ có hai nghiệm phân biệt nếu $\Delta > 0$ , có hai nghiệm kép nếu $\Delta = 0$ , vô nghiệm nếu $\Delta < 0$ . Tuy nhiên trên tập số phức phương trình bậc hai \[a{x^2} + bx + c = 0\] có 1 nghiệm duy nhất nếu $\Delta = 0$, có hai nghiệm phân biệt nếu $\left[ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
\Delta < 0
\end{array} \right.$
Vậy ta chỉ cần tính $\Delta $ là xong. Với phương trình ${z^2} + iz + 1 = 0$ thì $\Delta = {i^2} - 4 = - 5$ là một đại lượng $ < 0$ vậy phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt
Đáp số chính xác là A

Câu 7. Phần thực của số phức z là bao nhiêu biết $z = \frac{{{{\left( {1 - i} \right)}^{10}}{{\left( {\sqrt 3 + i} \right)}^5}}}{{{{\left( { - 1 - i\sqrt 3 } \right)}^{10}}}}$
A.-1+i
B.1
C.3-2i
D. ${2^5}i$
Để xử lý số phức bậc cao (>3) ta sử đưa số phức về dạng lượng giác và sử dụng công thức Moa-vơ . Và để dễ nhìn ta đặt $z = \frac{{z_1^{10}.z_2^5}}{{z_3^{10}}}$
Tính ${z_1} = 1 - i = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$. Để tính r và $\varphi $ ta lại sử dụng chức năng SHIF 2 3
giải phương trình số phức (16).PNG

Vậy ${z_1} = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{{ - \pi }}{4} + i\sin \frac{{ - \pi }}{4}} \right)$ $z_1^{10} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{10}}\left( {\cos 10.\frac{{ - \pi }}{4} + i\sin 10.\frac{{ - \pi }}{4}} \right)$
Tính $\cos 10.\frac{{ - \pi }}{4} + i\sin 10.\frac{{ - \pi }}{4}$
giải phương trình số phức (17).PNG

Vậy $z_1^{10} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{10}}.i = {2^5}.i$
Tương tự $z_2^5 = {2^5}\left( {\cos 5.\frac{\pi }{6} + i\sin 5.\frac{\pi }{6}} \right) = {2^5}\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)$
$z_3^{10} = {2^{10}}\left( {\cos 10.\frac{{ - 2\pi }}{3} + i\sin 10.\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right) = {2^{10}}\left( { - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)$
Tổng hợp $z = \frac{{z_1^{10}.z_2^5}}{{z_3^{10}}} = \frac{{{2^5}i{{.2}^5}\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)}}{{{2^{10}}\left( { - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}}$
giải phương trình số phức (18).PNG

Vậy z=1 $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là B

Câu 8. Cho phương trình ${z^2} - 2{\rm{z}} + 17 = 0$ có hai nghiệm phức ${z_1}$ và ${z_2}$ . Giá trị của $\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$ là :
A. $2\sqrt {17} $ B. $2\sqrt {13} $ C. $2\sqrt {10} $ D. $2\sqrt {15} $ (Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2 năm 2017)
Cách Casio
Tìm hai nghiệm của phương trình ${z^2} - 2{\rm{z}} + 17 = 0$
giải phương trình số phức (19).PNG

Tính tổng hai môđun bằng lệnh SHIFT HYP
giải phương trình số phức (20).PNG

Vậy $\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2\sqrt {17} $ $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A

Câu 10. Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} + 2{\rm{z}} + 10 = 0$ . Tính giá trị biểu thức $A = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}$
A. $2\sqrt {10} $
B.20
C. $5\sqrt 2 $
D. $10\sqrt 3 $
(Đề thi toán Đại học – Cao đẳng khối A năm 2009)
Cách Casio
Tìm hai nghiệm của phương trình ${z^2} + 2{\rm{z}} + 10 = 0$
giải phương trình số phức (21).PNG

Tính tổng bình phương hai môđun bằng lệnh SHIFT HYP
giải phương trình số phức (22).PNG

Vậy $A = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 20$ $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là B

Câu 11. Kí hiệu ${z_1},{z_2},{z_3}$ là nghiệm của phương trình ${z^3} + 27 = 0$ . Tính tổng $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right|$
A.T=0
B. $T = 3\sqrt 3 $
C.T=9
D.T=3
(Thi thử Group Nhóm toán lần 5 năm 2017)
Cách Casio
Tính nghiệm của phương trình ${z^3} + 27 = 0$ bằng chức năng MODE 5 4
giải phương trình số phức (23).PNG

Vậy ${z_1} = - 3,{z_2} = \frac{3}{2} + \frac{{3\sqrt 3 }}{2}i,{z_3} = \frac{3}{2} - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}i$
Tính tổng môđun $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right|$
giải phương trình số phức (24).PNG

Vậy T=9 $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C

Câu 4. Gọi ${z_1},{z_2},{z_3},{z_4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình $2{{\rm{z}}^4} - 3{{\rm{z}}^2} - 2 = 0$ . Tính tổng sau $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right|$
A.5
B. $5\sqrt 2 $
C. $3\sqrt 2 $
D. $\sqrt 2 $
(Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 năm 2017)
Cách Casio
Đặt $t = {z^2}$ . Tìm nghiệm của phương trình $2{t^2} - 3t - 2 = 0$
giải phương trình số phức (25).PNG

Vậy $\left[ \begin{array}{l}
t = 2\\
t = - \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{z^2} = 2\\
{z^2} = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.$
Với ${z^2} = 2 \Rightarrow z = \pm \sqrt 2 $
Với ${z^2} = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow {z^2} = \frac{{{i^2}}}{2} \Rightarrow z = \pm \frac{i}{{\sqrt 2 }}$
Tính tổng môđun $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right|$
giải phương trình số phức (26).PNG

Vậy $T = 3\sqrt 2 $ $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C

Câu 5. Xét phương trình ${z^3} = 1$ trên tập số phức . Tập nghiệm của phương trình là :
A. $S = \left\{ 1 \right\}$
B. $S = \left\{ {1;\frac{{ - 1 \pm \sqrt 3 }}{2}} \right\}$
C. $S = \left\{ {1; - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right\}$
D. $S = \left\{ { - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right\}$
(Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 năm 2017)
Cách Casio
Giải phương trình bậc ba ${z^3} - 1 = 0$ với chức năng MODE 54
giải phương trình số phức (27).PNG

Phương trình có 3 nghiệm ${x_1} = 1,{x_2} = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i,{x_3} = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C

Câu 6. Biết z là nghiệm của phương trình $z + \frac{1}{z} = 1$ . Tính giá trị biểu thức $P = {z^{2009}} + \frac{1}{{{z^{2009}}}}$
A.P=1
B.P=0
C. $P = - \frac{5}{2}$
D. $P = \frac{7}{4}$
Cách Casio
Quy đồng phương trình $z + \frac{1}{z} = 0$ ta được phương trình bậc hai ${z^2} - z + 1 = 0$. Tính nghiệm phương trình này với chức năng MODE 5 3
giải phương trình số phức (28).PNG

Ta thu được hai nghiệm z nhưng hai nghiệm này có vai trò như nhau nên chỉ cần lấy một nghiệm z đại diện là được
Với $z = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ ta chuyển về dạng lượng giác $ \Rightarrow z = 1\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)$
giải phương trình số phức (29).PNG

Vậy $ \Rightarrow {z^{2009}} = {1^{2009}}\left( {\cos 2009.\frac{\pi }{3} + i\sin 2009.\frac{\pi }{3}} \right) = \left( {\cos 2009.\frac{\pi }{3} + i\sin 2009.\frac{\pi }{3}} \right)$
Tính ${z^{2009}}$ và lưu và biến A
giải phương trình số phức (30).PNG

Tổng kết $P = A + \frac{1}{A} = 1$
giải phương trình số phức (31).PNG

$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A
 
Sửa lần cuối:

33 Kỹ thuật casio giải toán ôn thi đại học