casio Bài 32: Kỹ thuật casio tìm cực trị của số phức

II) VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1-[Thi thử THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ lần 1 năm 2017]
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện $\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|$ . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
A. z=-1+i
B. z=--2+i
C. z= 2+2i
D. z= 3+2i
Cách Casio
Trong các số phức ở đáp án, ta sẽ tiến hành xắp xếp các số phức theo thứ tự môđun tăng dần :
$\left| { - 1 + i} \right| < \left| { - 2 + 2i} \right| = \left| {2 + 2i} \right| < \left| {3 + 2i} \right|$
Tiếp theo sẽ tiến hành thử nghiệm từng số phức theo thứ tự môđun tăng dần, số phức nào thỏa mãn hệ thức điều kiện $\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|$ đầu tiên thì là đúng
Với z=-1+i
Xét hiệu : $\left| {\left( { - 1 + i} \right) - 2 - 4i} \right| - \left| {\left( { - 1 + i} \right) - 2i} \right|$

Ra một giá trị khác 0 vậy z=-1+i không thỏa mãn hệ thức. $ \Rightarrow $ Đáp án A sai
Tương tự như vậy với z= 2+2i

Vậy số phức z= 2+2i thỏa mãn hệ thức $ \Rightarrow $ Đáp số C là đáp số chính xác

Cách mẹo
Gọi số phức z có dạng z=a+bi . z thỏa mãn $\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|$
$ \Leftrightarrow \left| {a - 2 + \left( {b - 4} \right)i} \right| = \left| {a + \left( {b - 2} \right)i} \right|$
$ \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b - 2} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 8b + 16 = {a^2} + {b^2} - 4b + 4$
$ \Leftrightarrow 4a + 4b = 16$
$ \Leftrightarrow a + b - 4 = 0$
Trong các đáp án chỉ có đáp án C thỏa mãn a=b-4=0 Đáp án chính xác là C

Cách tự luận
Gọi số phức z có dạng z=a+bi . z thỏa mãn $\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|$
$ \Leftrightarrow \left| {a - 2 + \left( {b - 4} \right)i} \right| = \left| {a + \left( {b - 2} \right)i} \right|$
$ \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b - 2} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 8b + 16 = {a^2} + {b^2} - 4b + 4$
$ \Leftrightarrow 4a + 4b = 16$
$ \Leftrightarrow a + b = 4$
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki :
$16 = {\left( {a + b} \right)^2} \le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \Rightarrow {\left| z \right|^2} = {a^2} + {b^2} \ge 8$
$ \Rightarrow \left| z \right| \ge 2\sqrt 2 $
Dấu = xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{a}{1} = \frac{b}{1}\\
a + b = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 2 \Rightarrow z = 2 + 2i$

Câu 2-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017]
Với các số phức z thỏa mãn $\left| {\left( {1 + i} \right)z + 1 - 7i} \right| = \sqrt 2 $ . Tìm giá trị lớn nhất của $\left| z \right|$
A. $\max \left| z \right| = 4$
B. $\max \left| z \right| = 3$
C. $\max \left| z \right| = 7$
D. $\max \left| z \right| = 6$
Cách mẹo
Gọi số phức z có dạng z=a+bi . z thỏa mãn $\left| {\left( {1 + i} \right)z + 1 - 7i} \right| = \sqrt 2 $
$ \Leftrightarrow \left| {\left( {a + bi} \right)\left( {1 + i} \right) + 1 - 7i} \right| = \sqrt 2 $
$ \Leftrightarrow \left| {a - b + 1 + \left( {a + b - 7} \right)i} \right| = \sqrt 2 $
$ \Leftrightarrow {\left( {a - b + 1} \right)^2} + {\left( {a + b - 7} \right)^2} = 2$
$ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 50 - 12a - 16b = 2$
$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 6a - 8b + 25 = 1$
$ \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = 1$
Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(3,4) bán kính R=1 . Ta gọi đây là đường tròn (C)
Với mỗi điểm M biểu diễn số phức z=a+bi thì M cũng thuộc đường tròn tâm O(0;0) bán kính $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $ . Ta gọi đây là đường tròn (C’) , Môđun của z cũng là bán kính đường tròn (C’)
Để bán kính (C’) lớn nhất thì O, I, M thẳng hàng (như hình) và (C’) tiếp xúc trong với (C)
Khi đó OM=OI+R=5+1=6
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là D

Cách tự luận
Gọi số phức z có dạng z=a+bi . z thỏa mãn $\left| {\left( {1 + i} \right)z + 1 - 7i} \right| = \sqrt 2 $
$ \Leftrightarrow \left| {\left( {a + bi} \right)\left( {1 + i} \right) + 1 - 7i} \right| = \sqrt 2 $
$ \Leftrightarrow \left| {a - b + 1 + \left( {a + b - 7} \right)i} \right| = \sqrt 2 $
$ \Leftrightarrow {\left( {a - b + 1} \right)^2} + {\left( {a + b - 7} \right)^2} = 2$
$ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 50 - 12a - 16b = 2$
$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 6a - 8b + 25 = 1$
$ \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = 1$
Ta có ${\left| z \right|^2} = {a^2} + {b^2} = 6a + 8b - 24 = 6\left( {a - 3} \right) + 8\left( {b - 4} \right) + 26$
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : $6\left( {a - 3} \right) + 8\left( {b - 4} \right) \le \left| {6\left( {a - 3} \right) + 8\left( {b - 4} \right)} \right|$
$ \le \sqrt {\left( {{6^2} + {8^2}} \right)\left[ {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} \right]} = 10$
Vậy ${\left| z \right|^2} \le 36 \Leftrightarrow \left| z \right| \le 6$
$ \Rightarrow $ đáp án D là chính xác

Bình luận
Việc sử dụng bất đẳng thức để đánh giá $\left| z \right|$ là rất khó khăn, đòi hỏi học sinh phải nắm rất vững bất đẳng thức Bunhiacopxki và các biến dạng của nó
Trong tình huống của bài toán này, khi so sánh 2 cách giải ta thấy dùng mẹo tiếp xúc tỏ ra đơn giản dễ hiểu và tiết kiệm thời gian hơn.

Câu 3-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 5 năm 2017]
Cho số phức z thỏa mãn $\left| {z - 4} \right| + \left| {z + 4} \right| = 10$, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\left| z \right|$ lần lượt là :
A.10 và 4
B. 5 và 4
C. 4 và 3
D. 5 và 3
Cách mẹo
Gọi số phức z có dạng z=a+bi . z thỏa mãn $\left| {z - 4} \right| + \left| {z + 4} \right| = 10$
$ \Leftrightarrow \left| {a - 4 + bi} \right| + \left| {a + 4 + bi} \right| = 10$
$ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{\left( {a + 4} \right)}^2} + {b^2}} = 10$
$ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a + 4} \right)}^2} + {b^2}} = 10 - \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {b^2}} $
$ \Leftrightarrow {a^2} + 8a + 16 + {b^2} = 100 + {a^2} - 8a + 16 + {b^2} - 20\sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {b^2}} $
$ \Leftrightarrow 20\sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {b^2}} = 100 - 16a$
$ \Leftrightarrow 5\sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {b^2}} = 25 - 4a$
$ \Leftrightarrow 25\left( {{a^2} - 8a + 16 + {b^2}} \right) = 625 - 200a + 16{a^2}$
$ \Leftrightarrow 9{a^2} + 25{b^2} = 225$
$ \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{25}} + \frac{{{b^2}}}{9} = 1$
Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đường Elip đỉnh thuộc đáy lớn là A(5;0) , đỉnh thuộc đáy nhỏ là B(0;3)
Với mỗi điểm M biểu diễn số phức z=a+bi thì M cũng thuộc đường tròn tâm O(0;0) bán kính $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $ . Ta gọi đây là đường tròn (C’) , Môđun của z cũng là bán kính đường tròn (C’)
Để bán kính (C’) lớn nhất thì M trùng với đỉnh thuộc trục lớn và $M \equiv A\left( {5;0} \right)$ $ \Rightarrow OM = 5$
$ \Rightarrow \max \left| z \right| = 5$
Để bán kính (C’) lớn nhất thì M trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ và $M \equiv B\left( {0;3} \right)$ $ \Rightarrow OM = 3$
$ \Rightarrow \min \left| z \right| = 3$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là D

Cách tự luận
Gọi số phức z có dạng z=a+bi . z thỏa mãn $\left| {z - 4} \right| + \left| {z + 4} \right| = 10$
$ \Leftrightarrow \left| {a - 4 + bi} \right| + \left| {a + 4 + bi} \right| = 10$
$ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{\left( {a + 4} \right)}^2} + {b^2}} = 10$
$ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a + 4} \right)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{\left( { - a + 4} \right)}^2} + {{\left( { - b} \right)}^2}} = 10$

Theo bất đẳng thức vecto ta có :
$ \Leftrightarrow 10 = \sqrt {{{\left( {a + 4} \right)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{\left( { - a + 4} \right)}^2} + {{\left( { - b} \right)}^2}} \ge \sqrt {{{\left[ {\left( {a + 4} \right) - \left( { - a + 4} \right)} \right]}^2} + {{\left[ {b - \left( { - b} \right)} \right]}^2}} $
$ \Leftrightarrow 10 \ge \sqrt {4{a^2} + 4{b^2}} $
$ \Leftrightarrow 10 \ge 2\left| z \right| \Rightarrow \left| z \right| \le 5$
Ta có $ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{\left( {a + 4} \right)}^2} + {b^2}} = 10$
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : $100 = {\left( {\sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{\left( {a + 4} \right)}^2} + {b^2}} } \right)^2} \le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left[ {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {b^2} + {{\left( {a + 4} \right)}^2} + {b^2}} \right]$
$ \Leftrightarrow 100 \le 2\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 32} \right)$
$ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 32 \ge 50$
$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 9$
Vậy ${\left| z \right|^2} \ge 9 \Leftrightarrow \left| z \right| \le 3$
$ \Rightarrow $ $3 \le \left| z \right| \le 5 \Rightarrow $đáp án D là chính xác

Câu 4-Trong các số phức z thỏa mãn $\left| {z - 2} \right| - \left| {z + 2} \right| = 2$ , tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
A. $z = 1 - \sqrt 3 i$
B. $z = - 1 + \sqrt 3 i$
C. z=1
D. $z = \sqrt 3 + i$
Cách mẹo
Gọi số phức z có dạng z=x+yi . z thỏa mãn $\left| {z - 2} \right| - \left| {z + 2} \right| = 2$
$ \Leftrightarrow \left| {x - 2 + yi} \right| - \left| {x + 2 + yi} \right| = 2$
$ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {y^2}} - \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {y^2}} = 2$
$ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {y^2}} = 2 + \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {y^2}} $
$ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 4 + 4\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {y^2}} + {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2}$
$ \Leftrightarrow - 1 - 2x = \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {y^2}} $ $\left( { - 1 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le - \frac{1}{2}} \right)$
$ \Leftrightarrow 1 + 4x + 4{x^2} = {x^2} + 4x + 4 + {y^2}$
$ \Leftrightarrow {x^2} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1$
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là Hypebol $\left( H \right):{x^2} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1$ có 2 đỉnh thuộc thực là A’(-1;0), B(1;0)
Số phức z=x+yi có điểm biểu diễn M(x,y) và có môđun là $OM = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $. Để OM đạt giá trị nhỏ nhất thì M trùng với hai đỉnh của (H)
$M \equiv A \Rightarrow M\left( {1;0} \right) \Rightarrow z = 1$
$ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là C

Câu 5-Cho các số phức z thỏa mãn $\left| {2z - 2 + 2i} \right| = 1$. Môđun z nhỏ nhất có thể đạt được là bao nhiêu :
A. $\frac{{ - 1 + 2\sqrt 2 }}{2}$
B. $\frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2}$
C. $\sqrt 2 + 1$
D. $\sqrt 2 - 1$
Cách mẹo
Gọi số phức z=x+yi thỏa mãn $\left| {2{\rm{z}} - 2 + 2i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {2x - 2 + 2yi + 2i} \right| = 1$
$ \Leftrightarrow {\left( {2x - 2} \right)^2} + {\left( {2y + 2} \right)^2} = 1$
$ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = \frac{1}{4}$
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C) có tâm I(1;-1) bán kính $R = \frac{1}{2}$
Với mỗi điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi sẽ thuộc đường tròn tâm O bán kính $R' = \left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} $ . Vì vậy để $R = \left| z \right|$ nhỏ nhất thì đường tròn (C’) phải tiếp xúc ngoài với đường (C’)
Khi đó điểm M sẽ là tiếp điểm của đường tròn (C) và (C’) và $\left| z \right| = OM = OI - R = \frac{{ - 1 + 2\sqrt 2 }}{2}$

Đáp số chính xác là A

Câu 6-Trong các số phức z thỏa mãn $\left| {z - 3i} \right| + \left| {i\overline z + 3} \right| = 10$ . Hai số phức ${z_1}$ và ${z_2}$ có môđun nhỏ nhất. Hỏi tích ${z_1}{z_2}$ là bao nhiêu
A.25
B.-25
C.16
D.-16
Cách mẹo
Gọi số phức z=x+yi thỏa mãn $\left| {z - 3i} \right| + \left| {i\overline z + 3} \right| = 10$
$ \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 3} \right)i} \right| + \left| {y + 3 + xi} \right| = 10$
$ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {y + 3} \right)}^2} + {x^2}} = 10$
$ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {y + 3} \right)}^2} + {x^2}} = 10 - \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}} $
$ \Leftrightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} + {x^2} = 100 - 20\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}} + {x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow 20\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}} = 100 - 12y$
$ \Leftrightarrow 25{x^2} + 16{y^2} = 400$
$ \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1$
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường Elip $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1$có 2 đỉnh thuộc trục nhỏ là A(-4;0), A’(a;0)
Với mỗi điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi sẽ thuộc đường tròn tâm O bán kính $R' = \left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} $ . Vì elip (E) và đường tròn (C) có cùng tâm O nên để OM nhỏ nhất thì M là đỉnh thuộc trục nhỏ
$ \Rightarrow M \equiv A' \Rightarrow {z_1} = - 4$ , $M \equiv A \Rightarrow {z_2} = 4$
Tổng hợp ${z_1}.{z_2} = \left( { - 4} \right).4 = - 16$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là D
Mở rộng
Nếu đề bài hỏi tích ${z_1}{z_2}$ với $\left| {{z_1}} \right|,\left| {{z_2}} \right|$ có giá trị lớn nhất thì hai điểm M biểu diễn hai số phức trên là hai đỉnh thuộc trục lớn B(0;-5), B’(0;5)
$ \Rightarrow M \equiv B' \Rightarrow {z_1} = - 5i$ , $M \equiv A \Rightarrow {z_2} = 5i$
Tổng hợp ${z_1}{z_2} = 5i.\left( { - 5i} \right) = - 25{i^2} = 25$

Câu 7-Trong các số phức z thỏa mãn $\left| {iz - 3} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|$ . Tính giá trị nhỏ nhất của $\left| z \right|$.
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$
C. $\frac{1}{5}$
D. $\frac{1}{{\sqrt 5 }}$
Cách mẹo
Gọi số phức z=x+yi thỏa mãn $\left| {iz - 3} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|$
$ \Leftrightarrow \left| { - y - 3 + xi} \right| = \left| {x - 2 + \left( {y - 1} \right)i} \right|$
$ \Leftrightarrow {\left( { - y - 3} \right)^2} + {x^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow {y^2} + 6y + 9 + {x^2} = {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 2y + 1$
$ \Leftrightarrow x + 2y + 1 = 0$
$ \Leftrightarrow 20\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}} = 100 - 12y$
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (d): x+2y+1=0
Với mỗi điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi thi $\left| z \right| = OM \ge OH$ với H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng (d) và OH là khoảng cách từ điểm O lên đường thẳng (d)
Tính $OH = d\left( {O;\left( d \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 2.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}$
Vậy $\left| z \right| \ge \frac{1}{{\sqrt 5 }}$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là D
$\left| {x + yi + \frac{1}{{x + yi}}} \right| = \left| {\frac{{{x^2} - {y^2} + 1 + 2xyi}}{{x + yi}}} \right| = \left| {\frac{{{x^3} - x{y^2} + x + {x^2}yi + {y^3}i - yi + 2x{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right|$.