casio Bài 31: Kỹ thuật casio tìm quỹ tích điểm biểu diễn của số phức

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG
1. Mẹo giải nhanh

Bài toán quỹ tích luôn đi lên từ định nghĩa. Ta luôn đặt z=x+yi , biểu diễn số phức theo yêu cầu đề bài, từ đó khử i và thu về một hệ thức mới :
  • Nếu hệ thức có dạng Ax+By+C=0 thì tập hợp điểm là đường thẳng
  • Nếu hệ thức có dạng ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$ thì tập hợp điểm là đường tròn tâm I(a;b) bán kính R
  • Nếu hệ thức có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ thì tập hợp điểm có dạng một Elip
  • Nếu hệ thức có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ thì tập hợp điểm là một Hyperbol
  • Nếu hệ thức có dạng $y = A{x^2} + Bx + C$ thì tập hợp điểm là một Parabol
2. Phương pháp Caso
Tìm điểm đại diện thuộc quỹ tích cho ở đáp án rồi thế ngược vào đề bài, nếu thỏa mãn thì là đúng

II) VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 năm 2017]

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $\left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\overline z + 2i} \right|$
A. 4x-2y+1=0 B. 4x-2y-1=0 C. 4x+2y-1=0 D. 4x-6y-1=0
Cách Casio
Gọi số phức z có dạng z=a+bi . Ta hiểu : điểm M biểu diễn số phức z thì M có tọa độ M(a,b) .
Giả sử đáp án A đúng thì M thuộc đường thẳng 4x-2y+1=0 thì 4a-2b+1=0
Chọn a=1thì $b = \frac{5}{2}$$ \Rightarrow z = 1 + 2.5i$ . Số phức z thỏa mãn $\left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\overline z + 2i} \right|$ thì $\left| {z - 2 - i} \right| - \left| {\overline z + 2i} \right| = 0$
Sử dụng máy tính Casio để kiểm tra
Kỹ thuật casio tìm quỹ tích điểm biểu diễn (1).PNG

Ta thấy ra một kết quả khác 0 vậy $\left| {z - 2 - i} \right| - \left| {\overline z + 2i} \right| = 0$ là sai và đáp án A sai
Tương tự với đáp số B chọn a=1 thì b=1.5 và z=1+1.5i
Kỹ thuật casio tìm quỹ tích điểm biểu diễn (2).PNG

Ta thấy kết quả ra 0 vậy $\left| {z - 2 - i} \right| - \left| {\overline z + 2i} \right| = 0$ là đúng và đáp án chính xác là B
Cách mẹo
Đặt z=x+yi (ta luôn đi lên từ định nghĩa) .
Thế vào $\left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\overline z + 2i} \right|$ ta được
$\left| {\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {{x^2} + \left( { - y + 2} \right)i} \right|$
$ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( { - y + 2} \right)}^2}} $
$ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( { - y + 2} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 2y + 1 = {x^2} + {y^2} - 4y + 4$
$ \Leftrightarrow 4x - 2y - 1 = 0$
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng 4x-2y-1=0
$ \Rightarrow $ đáp án B là chính xác
Bình luận
Trong dạng toán này ta nên ưu tiên dùng mẹo vì tính nhanh gọn của nó
Nhắc lại một lần nữa, luôn đặt z=x+yi rồi biến đổi theo đề bài

Câu 2-[Thi thử sở GD-ĐT Hà Tĩnh lần 1 năm 2017]
Cho số phức z thỏa mãn $\left| {2 + z} \right| = \left| {1 - i} \right|$ . Chọn phát biểu đúng
A.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng
B.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Parabol
C.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn
D.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Elip
Cách mẹo
Đặt z=x+yi.
Thế vào $\left| {2 + z} \right| = \left| {1 - i} \right|$ ta được
$\left| {x + 2 + yi} \right| = \left| {1 - i} \right|$
$ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} $
$ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2}$
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(-2;0) bán kính $R = \sqrt 2 $
Vậy đáp án C là chính xác

Câu 3-[Đề thi minh họa của bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017]
Cho các số phức z thỏa mãn $\left| z \right| = 4$ . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w=(3+4i)z+i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.
A.r=4 B.r=5 C.r=20 D.r=22
Cách Casio
Để xây dựng 1 đường tròn ta cần 3 điểm biểu diễn của w , vì z sẽ sinh ra w nên đầu tiên ta sẽ chọn 3 giá trị đại diện của z thỏa mãn $\left| z \right| = 4$
Chọn z=4+0i (thỏa mãn $\left| z \right| = 4$ ). Tính ${w_1} = \left( {3 + 4i} \right)\left( {4 + 0i} \right) + i$
Kỹ thuật casio tìm quỹ tích điểm biểu diễn (3).PNG

Ta có điểm biểu diễn của ${z_1}$ là M(12;17)
Chọn z=4i (thỏa mãn $\left| z \right| = 4$ ). Tính ${w_2} = \left( {3 + 4i} \right)\left( {4i} \right) + i$
Kỹ thuật casio tìm quỹ tích điểm biểu diễn (4).PNG

Ta có điểm biểu diễn của ${z_2}$ là N(-16;13)
Chọn z=-4i (thỏa mãn $\left| z \right| = 4$ ). Tính ${w_3} = \left( {3 + 4i} \right)\left( { - 4i} \right) + i$
Kỹ thuật casio tìm quỹ tích điểm biểu diễn (5).PNG

Ta có điểm biểu diễn của ${z_3}$ là P(16;-11)
Vậy ta có 3 điểm M, N, P thuộc đường tròn biểu diễn số phức w
Đường tròn này sẽ có dạng tổng quát ${x^2} + {y^2} + ax + by + c = 0$ . Để tìm a,b,c ta sử dụng máy tính Casio với chức năng MODE 5 3
Kỹ thuật casio tìm quỹ tích điểm biểu diễn (6).PNG

Vậy phương trình đường tròn có dạng ${x^2} + {y^2} - 2y - 399 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {20^2}$
Bán kính đường tròn tập hợp điểm biểu diễn số phức w là 20 $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là C
Cách mẹo
Đề bài yêu cầu tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w vậy ta đặt w=x+yi .
Thế vào \[w = \left( {3 + 4i} \right)z + i \Leftrightarrow z = \frac{{w - i}}{{3 + 4i}} = \frac{{x + \left( {y - 1} \right)i}}{{3 + 4i}}\] . Tiếp tục rút gọn ta được
$z = \frac{{\left[ {x + \left( {y - 1} \right)i} \right]\left( {3 - 4i} \right)}}{{\left( {3 + 4i} \right)\left( {3 - 4i} \right)}} = \frac{{3x + 4y - 4 + \left( { - 4x + 3y - 3} \right)i}}{{25}}$
$\left| z \right| = 4 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = 16 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3x + 4y - 4}}{{25}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 4x + 3y - 3}}{{25}}} \right)^2} = 16$
$ \Leftrightarrow \frac{{25{x^2} + 25{y^2} + 25 - 50y}}{{{{25}^2}}} = 16$
$ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y = 399$
$ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {20^2}$
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn bán kínhr=20
$ \Rightarrow $ đáp án C là chính xác
Bình luận
Chức năng MODE 5 2 để tìm phương trình đường tròn được giải thích như sau :
Đường tròn có dạng ${x^2} + {y^2} + ax + by + c = 0$
Với M thuộc đường tròn thì $12a + 17b + c = - {12^2} - {17^2}$
Với N thuộc đường tròn thì $ - 16a + 13b + c = - {16^2} - {13^2}$
Với P thuộc đường tròn thì $16a - 11b + c = - {16^2} - {11^2}$
Vậy ta lập được hệ phương trình 3 ẩn bậc nhất $\left\{ \begin{array}{l}
12a + 17b + c = - {12^2} - {17^2}\\
- 16a + 13b + c = - {16^2} - {13^2}\\
16a - 11b + c = - {16^2} - {11^2}
\end{array} \right.$
Và ta sử dụng chức năng giải hệ phương trình 3 ẩn bậc nhất MODE 5 2 để xử lý
Hai cách đều hay và có ưu điểm riêng, tự luận sẽ tiết kiệm thời gian một chút nhưng việc tính toán rút gọn dễ nhầm lẫn, còn casio có vẻ bấm máy nhiều hơn nhưng tuyệt đối không sai.

Câu 4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 năm 2017]
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn phần thực của $\frac{{z - 1}}{{z - i}}$ bằng 0 là đường tròn tâm I bán kính R (trừ đi một điểm)
A. $I\left( { - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)$, $R = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$
B. $I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)$, $R = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$
C. $I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)$, $R = \frac{1}{2}$
D. $I\left( { - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)$, $R = \frac{1}{2}$
Cách mẹo
Đặt z=x+yi.
Thế vào $\frac{{z - 1}}{{z - i}}$ ta được $\frac{{x - 1 + yi}}{{x + \left( {y - 1} \right)i}} = \frac{{\left( {x - 1 + yi} \right)\left[ {x - \left( {y - 1} \right)i} \right]}}{{\left[ {x + \left( {y - 1} \right)i} \right]\left[ {x - \left( {y - 1} \right)i} \right]}}$
$ = \frac{{{x^2} - x + {y^2} - y + xyi - \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)i}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}$
Để phần thực của $\frac{{z - 1}}{{z - i}}$bằng 0 thì ${x^2} - x + {y^2} - y = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}$
Vậy tập hợp điểm cần tìm là đường tròn tâm $I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)$ bán kính $R = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $ \Rightarrow $đáp án B là chính xác

Câu 5-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017]
Cho các số phức z thỏa mãn $\left| {z + 1 - i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right|$ . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó.
A. 4x+6y-3=0 B. 4x-6y-3=0 C. 4x+6y+3=0 D. 4x-6y+3=0
Cách 1: Casio
Giả sử đáp án A đúng, điểm biểu diễn số phức z=x+yi thuộc đường thẳng 4x+6y-3=0
Chọn x=1 thì $y = - \frac{1}{6}$ và số phức $z = 1 - \frac{1}{6}i$ .
Xét hiệu $\left| {z + 1 - i} \right| - \left| {z - 1 + 2i} \right|$. Nếu hiệu trên =0 thì đáp án A đúng. Để làm việc này ta sử dụng máy tính Casio
Kỹ thuật casio tìm quỹ tích điểm biểu diễn (7).PNG

Hiệu trên khác 0 vậy đáp án A sai
Thử với đáp án B. Chon x=1 thì $y = \frac{1}{6}$ và số phức $x = 1 + \frac{1}{6}i$ . Xét hiệu :
Kỹ thuật casio tìm quỹ tích điểm biểu diễn (8).PNG

Vậy hiệu $\left| {z + 1 - i} \right| - \left| {z - 1 + 2i} \right| = 0 \Leftrightarrow \left| {z + 1 - i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right|$$ \Rightarrow $Đáp án chính xác là B
Cách 2: Tự luận
Vì đề bài yêu cầu tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z nên ta đặt z=x+yi
Theo đề bài $\left| {z + 1 - i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right|$$\left| {x + 1 + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {x - 1 + \left( {y + 2} \right)i} \right|$
$ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + {y^2} - 2y + 1 = {x^2} - 2x + 1 + {y^2} + 4y + 4$
$ \Leftrightarrow 4x - 6y - 3 = 0$ . Vậy đáp án chính xác là B

Câu 6-[Thi thử THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa lần 1 năm 2017]
Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z : $\left| z \right| = \left| {\overline z - 3 + 4i} \right|$ là phương trình có dạng
A. 6x+8y-25=0 B.3x+4y-3=0 C. ${x^2} + y = 25$ D. ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25$
Đặt số phức z=x+yi .
Ta có : $\left| z \right| = \left| {\overline z - 3 + 4i} \right|$ $ \Leftrightarrow \left| {x + yi} \right| = \left| {x - 3 + \left( {4 - y} \right)i} \right|$ $ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {4 - y} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 8y + 16 \Leftrightarrow 6x + 8y - 25 = 0$
Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng 6x+8y-25=0
$ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là A

Câu 7-[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần 1 năm 2017]
Cho các số phức z thỏa mãn $\left| z \right| = 2$ . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w=3-2i+(2-i)z là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.
A.r=20 B. $r = \sqrt {20} $ C. $r = \sqrt 7 $ D.r=7
Cách 1: Casio
Chọn số phức z=2 thỏa mãn $\left| z \right| = 2$ vậy ${w_1} = 3 - 2i + \left( {2 - i} \right).2 = 7 - 4i$. Ta có điểm biểu diễn của ${w_1}$ là M(7;-4)
Chọn số phức z=-2 thỏa mãn $\left| z \right| = 2$ vậy ${w_2} = 3 - 2i + \left( {2 - i} \right).\left( { - 2} \right) = - 1 + 0i$ . Ta có điểm biểu diễn số phức ${w_2}$ là N(-1;0)
Chọn số phức z=2i thỏa mãn $\left| z \right| = 2$ vậy ${w_3} = 3 - 2i + \left( {2 - i} \right).\left( {2i} \right) = 5 + 2i$ . Ta có điểm biểu diễn số phức ${w_3}$ là P(5;2)
Kỹ thuật casio tìm quỹ tích điểm biểu diễn (9).PNG

Sử dụng máy tính tìm phương trình đường tròn di qua 3 điểm M, N, P
Kỹ thuật casio tìm quỹ tích điểm biểu diễn (10).PNG

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là ${x^2} + {y^2} - 6x + 4y - 7 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = {\left( {\sqrt {20} } \right)^2}$ sẽ có bán kính là $r = \sqrt {20} $
$ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là B
Cách 2: Tự luận
Vì đề bài yêu cầu tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w nên ta đặt w=x+yi
Theo đề bài w=3-2i+(2-i)z $ \Rightarrow z = \frac{{w - 3 + 2i}}{{2 - i}}$
$ \Leftrightarrow z = \frac{{x - 3 + \left( {y + 2} \right)i}}{{2 - i}} = \frac{{\left[ {x - 3 + \left( {y + 2} \right)i} \right]\left( {2 + i} \right)}}{{\left( {2 - i} \right)\left( {2 + i} \right)}}$
$ \Leftrightarrow z = \frac{{2x - y - 8 + \left( {x + 2y + 1} \right)}}{3}$
Ta có $\left| z \right| = 2$ $ \Rightarrow {\left( {\frac{{2x - y - 8}}{5}} \right)^2} + {\left( {\frac{{x + 2y + 1}}{5}} \right)^2} = 4$
$ \Leftrightarrow {\left( {2x - y - 8} \right)^2} + {\left( {x + 2y + 1} \right)^2} = 100$
$ \Leftrightarrow 5{x^2} + 5{y^2} - 30x + 20y + 65 = 100$
$ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 6x + 4y = 7$
$ \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = {\left( {\sqrt {20} } \right)^2}$

Câu 8-[Thi thử THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa lần 1 năm 2017]
Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $\left| {z - 1} \right| = \left| {\left( {1 + i} \right)z} \right|$
A.Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2,-1), bán kính $R = \sqrt 2 $
A.Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1,0), bán kính $R = \sqrt 3 $
A.Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0,-1), bán kính $R = \sqrt 3 $
A.Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0,-1), bán kính $R = \sqrt 2 $
Đặt số phức z=x+yi .
Ta có : $\left| {z - 1} \right| = \left| {\left( {1 + i} \right)z} \right|$ $ \Leftrightarrow \left| {x + yi - 1} \right| = \left| {\left( {x + yi} \right)\left( {1 + i} \right)} \right|$ $ \Leftrightarrow \left| {x - 1 + yi} \right| = \left| {x - y + \left( {x + y} \right)i} \right|$
$ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x + y} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} = {x^2} - 2xy + {y^2} + {x^2} + 2xy + {y^2}$
$ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x - 1 = 0$
$ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2}$
Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(-1;0), bán kính $R = \sqrt 2 $
$ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là D

Câu 9-[Thi thử THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa lần 1 năm 2017]
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn ${\left| z \right|^2} = {z^2}$ là :
A.Cả mặt phẳng B.Đường thẳng C.Một điểm D.Hai đường thẳng
Đặt số phức z=x+yi.
Ta có ${\left| z \right|^2} = {z^2}$ $ \Leftrightarrow {\left| {x + yi} \right|^2} = {\left( {x + yi} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {x^2} + 2xyi + {\left( {yi} \right)^2}$
$2{y^2} - 2xyi = 0 \Leftrightarrow y\left( {y - xi} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 0\\
y - ix = 0
\end{array} \right.$
Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là hai đường thẳng y=0 và y-ix=0
$ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là D

Câu 10-Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $2\left| {z - 1} \right| = \left| {z - \overline z + 2i} \right|$ là một Parabol có dạng:
A. $y = 3{x^2} - 6x + 2$B. $y = \frac{{{x^2}}}{2} - x$ C. $y = \frac{{{x^2}}}{3} - 4$ D. $y = {x^2} + 2x + \frac{1}{3}$
Đặt số phức z=x+yi.
Nếu đáp số A đúng thì đúng với mọi z=x+yi. thỏa mãn $y = 3{x^2} - 6x + 2$.
Chọn một cặp (x;y) bất kì thỏa $y = 3{x^2} - 6x + 2$ví dụ $A\left( {0;2} \right) \Rightarrow z = 2i$
Xét hiệu $2\left| {z - 1} \right| - \left| {z - \overline z + 2i} \right|$
Kỹ thuật casio tìm quỹ tích điểm biểu diễn (11).PNG

Vậy $2\left| {z - 1} \right| - \left| {z - \overline z + 2i} \right| = - 6 + 2\sqrt 5 \ne 0$
$ \Rightarrow 2\left| {z - 1} \right| \ne \left| {z - \overline z + 2i} \right|$ $ \Rightarrow $ Đáp số A sai
Tương tự với đáp số B chọn $z = 1 - \frac{1}{2}i$ . Xét hiệu $2\left| {z - 1} \right| - \left| {z - \overline z + 2i} \right|$
Kỹ thuật casio tìm quỹ tích điểm biểu diễn (12).PNG

Vậy $2\left| {z - 1} \right| - \left| {z - \overline z + 2i} \right| = 0$ $ \Rightarrow 2\left| {z - 1} \right| = \left| {z - \overline z + 2i} \right|$ $ \Rightarrow $ Đáp số B chính xác.
 
Sửa lần cuối:

33 Kỹ thuật casio giải toán ôn thi đại học