casio Bài 28: Kỹ thuật casio tính nhanh góc giữa vecto đường thẳng và mặt phẳng

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG
1. Góc giữa hai vecto

  • Cho hai vecto $\overrightarrow u \left( {x;y;z} \right)$ và $\overrightarrow v \left( {x';y';z'} \right)$ , góc giữa hai vecto $\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v $ được tính theo công thức : $\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{x.x' + y.y' + z.z'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \sqrt {x{'^2} + y{'^2} + z{'^2}} }}$
  • Góc giữa hai vectơ thuộc khoảng $\left[ {{0^0};{{180}^0}} \right]$
2. Góc giữa hai đường thẳng
  • Cho hai đường thẳng d và d’ có hai vecto chỉ phương$\overrightarrow {{u_d}} $ và $\overrightarrow {{u_{d'}}} $ . Góc $\alpha $ giữa hai đường thẳng d,d’ được tính theo công thức : $\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right|}}$ ( tích vô hướng chia tích độ dài )
  • Góc giữa hai đường thẳng thuộc khoảng $\left[ {{0^0};{{90}^0}} \right]$
3. Góc giữa hai mặt phẳng
  • Cho hai mặt phẳng (P) và (Q)có hai vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} $ và $\overrightarrow {{n_Q}} $ . Góc $\alpha $ giữa hai mặt phẳng (P), (Q)được tính theo công thức : $\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}$
  • Góc giữa hai đường thẳng thuộc khoảng $\left[ {{0^0};{{90}^0}} \right]$
4. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
  • Cho đường thẳng d có vecto chỉ phương $\overrightarrow u $ và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n $ . Góc $\alpha $ giữa đường thẳng d và mặt phẳng (Q) được tính theo công thức $\sin \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow n } \right)} \right|$
  • Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng thuộc khoảng $\left[ {{0^0};{{90}^0}} \right]$
5. Lệnh Caso
  • Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 8
  • Nhập thông số vecto MODE 8 1 1
  • Tính tích vô hướng của 2 vecto : vectoA SHIFT 5 7 vectoB
  • Tính tích có hướng của hai vecto : vectoA x vectoB
  • Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP
  • Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP
  • Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7
  • Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE

II) VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(-2;1;0), B(-3;0;4), C(0;7;3) . Khi đó $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right)$ bằng :
A. $\frac{{14\sqrt {118} }}{{354}}$
B. $ - \frac{{14}}{{3\sqrt {118} }}$
C. $\frac{{\sqrt {798} }}{{57}}$
D. $ - \frac{{\sqrt {798} }}{{57}}$
giải
Nhập hai vecto $\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} $ vào máy tính Casio
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (1).PNG

Tính $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right|}} = 0.4296... = - \frac{{14}}{{3\sqrt {118} }}$
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (2).PNG

=> Đáp số chính xác là B

Câu 2-[Câu 37 đề minh họa vào ĐHQG HN]
Góc giữa hai đường thẳng $d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}$ và d': $\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 3}}{1}$ là :
A. ${45^0}$
B. ${90^0}$
C. ${60^0}$
D. ${30^0}$
giải
Đề bài yêu cầu tính góc theo đơn vị độ nên ta chuyển máy tính về chế độ độ
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (3).PNG

Đường thẳng d có vecto chỉ phương $\overrightarrow u \left( {1; - 1;2} \right)$ , đường thẳng d’ có vecto chỉ phương $\overrightarrow {u'} \left( {2;1;1} \right)$
Gọi $\alpha $ là góc giữa hai đường thẳng d; d’ thì $\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}$
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (4).PNG

Ta có $\cos \alpha = 0.5 \Rightarrow \alpha = {60^0}$
Áp dụng công thức tính thể tích ${V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {AB} \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} } \right]} \right| = 4$
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (5).PNG

=> Đáp số chính xác là C

Câu 3-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 5 năm 2017]
Tìm m để góc giữa hai vecto $\overrightarrow u \left( {1;{{\log }_3}5;{{\log }_m}2} \right)$ , $\overrightarrow v \left( {3;{{\log }_5}3;4} \right)$ là góc nhọn
A. $1 > m > \frac{1}{2}$
B. $\left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
0 < m < \frac{1}{2}
\end{array} \right.$
C. $0 < m < \frac{1}{2}$
D.m>1
giải
Gọi góc giữa 2 vecto $\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v $ là $\alpha $ thì $\cos \alpha = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}$
Để góc $\alpha $ nhọn thì $\cos \alpha < 0 \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v < 0$ $ \Leftrightarrow 1.3 + {\log _3}5.{\log _5}3 + 4.{\log _m}2 < 0 \Leftrightarrow {\log _m}2 + 1 < 0$ (1)
Để giải bất phương trình (1) ta sử dụng chức năng MODE 7 với thiết lập Start -2 End 2 Step 0.5
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (6).PNG

Ta thấy f(0.25)=0.5>0 => Đáp án C sai
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (7).PNG

Ta thấy f(1.25)=4.1062>0 => Đáp số B và D sai
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (8).PNG

=> Đáp số chính xác là A

Câu 4-[Câu 42a trang 125 Sách bài tập nâng cao hình học 12]
Tìm $\alpha $ để hai mặt phẳng $\left( P \right):x - \frac{1}{4}y - z + 5 = 0$ và $\left( Q \right):x\sin \alpha + y\cos \alpha + z{\sin ^3}\alpha + 2 = 0$vuông góc với nhau
A. ${15^0}$
B. ${75^0}$
C. ${90^0}$
D. Cả A, B, C đều đúng
giải
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} \left( {1; - \frac{1}{4}; - 1} \right)$ , mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_Q}} \left( {\sin \alpha ;\cos \alpha ;{{\sin }^3}\alpha } \right)$
Để hai mặt phẳng trên vuông góc với nhau $ \Leftrightarrow $ góc giữa $\overrightarrow {{n_P}} $ và $\overrightarrow {{n_Q}} $ bằng ${90^0}$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 0$
$ \Leftrightarrow \sin \alpha - \frac{1}{4}\cos \alpha - {\sin ^3}\alpha = 0$. Đặt $P = \sin \alpha - \frac{1}{4}\cos \alpha - {\sin ^3}\alpha $
Vì đề bài đã cho sẵn đáp án nên ta sử dụng phương pháp thử đáp án bằng chức năng CALC của máy tính Casio
Với $\alpha = {15^0}$ => $P = 0 \Rightarrow $ Đáp án A đúng
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (9).PNG

Với $\alpha = {75^0}$ => $P = 0 \Rightarrow $ Đáp án B đúng
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (10).PNG

=> Đáp số chính xác là D

Câu 5-[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017]
Điểm H(2;-1;-2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O lên mặt phẳng (P) .Tìm số đo góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q): x-y-6=0
A. ${30^0}$
B. ${45^0}$
C. ${60^0}$
D. ${90^0}$
giải
Mặt phẳng (P) vuông góc với OH nên nhận $\overrightarrow {OH} \left( {2; - 1; - 2} \right)$ là vecto pháp tuyến
$ \Rightarrow \left( P \right):2\left( {x - 2} \right) - 1\left( {y + 1} \right) - 2\left( {z + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 2z - 9 = 0$
Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} \left( {1; - 1;0} \right)$
Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) => $\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OH} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}$
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (11).PNG

Vậy $\cos \alpha = 0.7071... = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = {45^0}$
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (12).PNG

=> Đáp số chính xác là B

Câu 6-[Câu 47 trang 126 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Mặt phẳng (Q)nào sau đây đi qua hai điểm A(3;0;0) và B(0;0;1) đồng thời tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc là ${60^0}$
A. $\left[ \begin{array}{l}
x - \sqrt {26} y + 3z - 3 = 0\\
x - 5y + 3z - 3 = 0
\end{array} \right.$
B. $\left[ \begin{array}{l}
x + 5y + 3z - 3 = 0\\
x + \sqrt {26} y + 3z - 3 = 0
\end{array} \right.$
C. $\left[ \begin{array}{l}
x - 5y + 3z - 3 = 0\\
x + 5y + 3z - 3 = 0
\end{array} \right.$
D. $\left[ \begin{array}{l}
x + \sqrt {26} y + 3z - 3 = 0\\
x - \sqrt {26} y + 3z - 3 = 0
\end{array} \right.$
giải
Cách Casio
Để thực hiện cách này ta sẽ làm các phép thử. Ta thấy tất cả các mặt phẳng xuất hiện trong đáp án đều đi qua 2 điểm A, B . Vậy ta chỉ cần tính góc giữa mặt phẳng xuất hiện trong đáp án và mặt phẳng (Oxy) là xong.
Với mặt phẳng $\left( Q \right):x - \sqrt {26} y + 3z - 3 = 0$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - \sqrt {26} ;3} \right)$ , mặt phẳng (Oxy) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)$
Gọi $\alpha $ là góc giữa 2 mặt phẳng trên $ \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_Q}} ;\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = 0.5 \Rightarrow \alpha = {60^0}$
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (13).PNG

=> Đáp án chắc chắn phải chứa mặt phẳng $\left( Q \right):x - \sqrt {26} y + 3z - 3 = 0$.
Tiếp tục thử với mặt phẳng $x - 5y + 3{\rm{z}} - 3 = 0$ nếu thỏa thì đáp án A đúng nếu không thì đáp án D đúng
Cách tự luận
Gọi mặt phẳng (Q) có dạng Ax + By + Cz + D = 0
(Q) qua A => 3A+D=0, (Q) qua $B \Rightarrow C + D = 0$ . Chọn $D = 1 \Rightarrow C = - 1;A = - \frac{1}{3}$
Khi đó $\left( Q \right): - \frac{1}{3}x + By - z + 1 = 0$ và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_Q}} \left( { - \frac{1}{3};B; - 1} \right)$
Góc giữa hai mặt phẳng trên là ${60^0}$ => $\cos {60^0} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_Q}} ;\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_Q}} ;\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} - \frac{1}{2} = 0$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| { - \frac{1}{3}.0 + B.0 - 1.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - \frac{1}{3}} \right)}^2} + {B^2} + 1} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} - \frac{1}{2} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {{B^2} + \frac{{10}}{9}} }} - \frac{1}{2} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {{B^2} + \frac{{10}}{9}} = 2\\ \Leftrightarrow {B^2} + \frac{{10}}{9} = 4\\ \Leftrightarrow {B^2} = \frac{{26}}{9} \Leftrightarrow B = \pm \frac{{\sqrt {26} }}{3} \end{array}$
=> Đáp án chính xác là C

Câu 7-[Câu 71 trang 134 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Tính góc giữa đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}$ và mặt phẳng ( P):x + 2y - z + 5 = 0
A. ${30^0}$
B. ${45^0}$
C. ${60^0}$
D. ${90^0}$
giải
Đường thẳng $\Delta $ có vecto chỉ phương $\overrightarrow u \left( {2;1;1} \right)$ và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n \left( {1;2; - 1} \right)$
Gọi $\beta $ là góc giữa giữa 2 vectơ $\overrightarrow u ,\,\overrightarrow n $ . Ta có $\left| {\cos \left( \beta \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}$
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (14).PNG

Gọi $\alpha $ là góc giữa đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng (P) $ \Rightarrow \sin \alpha = \left| {\cos \beta } \right| = 0.5$
$ \Rightarrow \alpha = {30^0}$
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (15).PNG

=> Đáp án chính xác là A

Câu 8-[Câu 21trang 119Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Cho bốn điểm A(1;1;0), B(0;2;1), C(1;0;2), D(1;1;1) . Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và CD :
A. ${30^0}$
B. ${60^0}$
C. ${90^0}$
D. ${120^0}$
giải
Đường thẳng AB nhận vecto $\overrightarrow {AB} \left( { - 1;1;1} \right)$ là vecto chỉ phương , đường thẳng CD nhận $\overrightarrow {CD} \left( {0;1; - 1} \right)$là vecto chỉ phương
Gọi $\alpha $ là góc giữa hai đường thẳng AB, CD và được tính theo công thức : $\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}$
Nhập các vecto $\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {CD} $ vào máy tính Casio
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (16).PNG

Tính $\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}} = 0 \Rightarrow \alpha = {90^0}$
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (17).PNG

Vậy đáp số chính xác là C

Câu 9-[Câu 8 trang 142 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Cho $\overrightarrow u \left( {1;1; - 2} \right)$ và $\overrightarrow v \left( {1;0;m} \right)$ . Tìm m để góc giữa hai vecto $\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v $ là ${45^0}$
A. $\left[ \begin{array}{l}
m = 2 - \sqrt 6 \\
m = 2 + \sqrt 6
\end{array} \right.$
B. $m = 2 - \sqrt 6 $
C. $m = 2 + \sqrt 6 $
D. Không có m thỏa mãn
giải
Ta có $\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{1 - 2m}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{m^2} = 1} }}$
Để góc giữa 2 vecto trên là ${45^0}$ thì $\frac{{1 - 2m}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{m^2} = 1} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \frac{{1 - 2m}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{m^2} = 1} }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }} = 0$
Để kiểm tra giá trị m thỏa mãn ta sử dụng máy tính Casio với chức năng CALC
Với $m = 2 - \sqrt 6 $
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (18).PNG

$ \Rightarrow m = 2 - \sqrt 6 $ thỏa => Đáp số đúng chỉ có thể là A hoặc B
Tiếp tục kiểm tra với $m = 2 + \sqrt 6 $
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (19).PNG

$ \Rightarrow 2 + \sqrt 6 $ không thỏa => Đáp số chính xác là B

Câu 10-[Câu 14 trang 143 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Cho hai mặt phẳng $\left( P \right):{m^2}x - y + \left( {{m^2} - 2} \right)z + 2 = 0$ và $2x + {m^2}y - 2z + 1 = 0$ vuông góc với nhau :
A. $\left| m \right| = 2$
B. $\left| m \right| = 1$
C. $\left| m \right| = \sqrt 2 $
D. $\left| m \right| = \sqrt 3 $
giải
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n \left( {{m^2}; - 1;{m^2} - 2} \right)$ , mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {n'} \left( {2;{m^2}; - 2} \right)$
Để hai mặt phẳng trên vuông góc nhau thì $\overrightarrow n \bot \overrightarrow {n'} \Leftrightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {n'} = 0$
$ \Leftrightarrow {m^2}.2 - {m^2} + \left( {{m^2} - 2} \right).\left( { - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 4 - {m^2} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2$
=> Đáp án chính xác là A

Câu 11-[Câu 94 trang 140 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a . Xét hai điểm là trung điểm B’C’ . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AP và BC’
A. $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$
B. $\frac{2}{{\sqrt 5 }}$
C. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$
D. $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$
giải
Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc là đỉnh A , tia Ox chứa AB , tia Oy chứa AD , tia Oz chứa AA’ . Chọn a=1 khi đó: A(0;0;0), B(0;1;0), D(0;1;0), A’(0;0;1), B’(1;0;1); C’(1;1;1)
$ \Rightarrow P\left( {1;\frac{1}{2};1} \right)$, $\overrightarrow {AP} \left( {1;\frac{1}{2};1} \right)$ , $\overrightarrow {BC'} \left( {0;1;1} \right)$
Góc giữa 2 đường thẳng AP, BC’ là $\alpha $ thì $\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {AP} ;\overrightarrow {BC'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AP} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC'} } \right|}} = 0.7071... = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (20).PNG

=>D là đáp số chính xác

Câu 12-[Câu 47a trang 126 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Viết phương trình mặt phẳng(P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng $\left( Q \right):2x + y - \sqrt 5 z = 0$ một góc ${60^0}$
A. $\left[ \begin{array}{l}
x + 3y = 0\\
x - 3y = 0
\end{array} \right.$
B. $\left[ \begin{array}{l}
x - 3y = 0\\
- 3x + y = 0
\end{array} \right.$
C. $\left[ \begin{array}{l}
- 3x + y = 0\\
x + 3y = 0
\end{array} \right.$
D. $\left[ \begin{array}{l}
- 3x + y = 0\\
3x + y = 0
\end{array} \right.$
giải
Cách Casio
Với mặt phẳng ( P):x + 3y = 0 có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;3} \right)$ , mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;1; - \sqrt 5 } \right)$
Gọi $\alpha $ là góc giữa 2 mặt phẳng trên $ \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = 0.5 \Rightarrow \alpha = {60^0}$
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (21).PNG

=> Đáp án chắc chắn phải chứa mặt phẳng x+3y=0.
Tiếp tục thử với mặt phẳng x-3y=0 nếu thỏa thì đáp án A đúng nếu không thì đáp án C đúng
Cách tự luận
Gọi mặt phẳng (P) có dạng Ax + By + Cz + D = 0. (P) chứa trục Oz thì (P) chứa 2 điểm thuộc trục Oz . Gọi hai điểm đó là A(0;0;0) và B(0;0;1)
(P) qua $A \Rightarrow $ D=0 , (P) qua $B \Rightarrow C + D = 0$$ \Rightarrow C = D = 0$Chọn A=1
Khi đó ( P):x + By = 0 và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_Q}} \left( {1;B;0} \right)$
Góc giữa hai mặt phẳng trên là ${60^0}$=>$\cos {60^0} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \frac{1}{2}$$ \Leftrightarrow \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_Q}} ;\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} - \frac{1}{2} = 0$
$ \Leftrightarrow \frac{{\left| {1.2 + B.1 + 0.\left( { - \sqrt 5 } \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {B^2} + {0^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - \sqrt 5 } \right)}^2}} }} = \frac{1}{2} = \Leftrightarrow \frac{{\left| {B + 2} \right|}}{{\sqrt {10} \sqrt {{B^2} + 1} }} = \frac{1}{2}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\left| {B + 2} \right| = \sqrt {10} \sqrt {{B^2} + 1} \\ \Leftrightarrow 4\left( {{B^2} + 4B + 4} \right) = 10\left( {{B^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 6{B^2} - 16B - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {B = 3}\\ {B = - \frac{1}{3}} \end{array}} \right. \end{array}$
=> Đáp án chính xác là C

Câu 13-[Câu 19 trang 145 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Cho ( P ):3x + 4y + 5z + 8 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):x - 2y + 1 = 0$ , $\left( \beta \right):x - 2z - 3 = 0$ . Gọi $\varphi $ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) . Khi đó :
A. $\varphi = {30^0}$
B. $\varphi = {45^0}$
C. $\varphi = {60^0}$
D. $\varphi = {90^0}$
giải
d là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right),\,\left( \beta \right)$ nên nhận d vuông góc với hai vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng này
=>Vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {4;4;4} \right)$
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (22).PNG

Gọi $\gamma $ là góc giữa $\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{n_P}} $ta có $\left| {\cos \gamma } \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\,\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|}} = 0.8660... = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (23).PNG

Ta có $\sin \varphi = \left| {\cos \gamma } \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \varphi = {60^0}$
Kỹ thuật casio tính nhanh góc (24).PNG

=> Đáp số chính xác là C
Chính xác là B.
 
Sửa lần cuối:

33 Kỹ thuật casio giải toán ôn thi đại học